Question

8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC边上，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE，作DF⊥BC交AB于点F．
（1）求证：AB⊥BE；
（2）若AC=8，DF=3，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）作EH⊥BC于H，如图，根据旋转的性质得∠ADE=90°，DA=DE，再利用等角的余角相等得到∠EDH=∠DAC，则可根据“AAS”证明△ACD≌△DHE得到AC=DH，CD=EH，接着利用∠C=90°，AC=BC和等线段代换可得BH=EH，于是可判断△BEH为等腰直角三角形，所以∠EBH=45°，则可得到∠ABE=90°，然后根据垂直的定义得AB⊥BE；
（2）由于DF⊥BC，∠FBD=45°，则可判断△DBF为等腰直角三角形，得到BD=DF=3，再利用BC=AC=8得到CD=5，然后利用（1）中的证明过程得EH=CD=5，△BEH为等腰直角三角形，于是BE=$\sqrt{2}$EH=5$\sqrt{2}$．

解答 （1）证明：作EH⊥BC于H，如图，
∵AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，
∴∠ADE=90°，DA=DE，
∴∠ADC+∠EDH=90°，
而∠ADC+∠DAC=90°，
∴∠EDH=∠DAC，
在△ACD和△DHE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠H}\\{∠DAC=∠EDH}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△DHE，
∴AC=DH，CD=EH，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°，
∵AC=BC=DH，
∴CD=BH，
∴BH=EH，
∴△BEH为等腰直角三角形，
∴∠EBH=45°，
∴∠ABE=90°，
∴AB⊥BE；
（2）解：∵DF⊥BC，∠FBD=45°，
∴△DBF为等腰直角三角形，
∴BD=DF=3，
∵BC=AC=8，
∴CD=5，
由（1）得EH=CD=5，△BEH为等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$EH=5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质．