Question

如图，Rt△ABO的边OB在x轴上，且∠ABO=90°，AB：BO=3：4，点A刚好落在双曲线y=上．
（1）求点A的坐标；
（2）以O为位似中心，在y轴的右侧按1：2的比例画出△ABO缩小后的位似图形△A′B′O，点A对应点记为A′，点B的对应点记为B′；
（3）试在x轴上确定点P的坐标，使以A′、B′、P为顶点的三角形与△ABO相似，写出计算过程．

Answer 1

解：（1）∵AB：BO=3：4，且OB=x_A，AB=y_A，
∴y_A=3k，x_A=4k，
∵点A在双曲线y=上，
∴12k²=48，
解得：k=±2，
∵如图点A在第一象限，
∴x_A=8，y_A=6，
∴点A的坐标为（8，6）．
（2）

（3）∵点P在x轴上，
∴∠A'B'P=∠ABO=90°，

要使以A'、B'、P为顶点的三角形与△ABO相似，还需=或=，
由第（1）小题可得AB=6，BO=8，
由第（2）小题可得，A'B'=3，A'（4，3），B'（4，0），
①当=时，=，
解得：B'P=4，
则点P的坐标为（0，0）或（8，0）；
②当=时，=，
解得：B'P=，
则|x_P-x_B'|=，即|x_P-4|=，
解得：x_P=或x_P=，
则点P的坐标为（，0）或（，0），
综上可得点P的坐标为（0，0）或（8，0）或（，0）或（，0）可使以A'、B'、P为顶点的三角形与△ABO相似．
分析：（1）根据题意可设点A的坐标为（4k，3k），将点A代入反比例函数解析式可得出k的值，继而可得出点A的坐标；
（2）根据位似中心为点O，可作出y轴右侧的位似图形．
（3）根据（2）可得∠A'B'P=90°，要想使以A′、B′、P为顶点的三角形与△ABO相似需要满足=或=，分类讨论可得出点P的坐标．
点评：此题属于反比例函数的综合题，涉及了反比例函数上点的坐标特点，位似作图、相似三角形的判定与性质，综合性较强，解答本题需要同学们熟练各个知识点，并能将各知识点融会贯通．