Question

【题目】如图，矩形ABCD的顶点 A的坐标为（4，2），顶点B，C分别在轴，轴的正半轴上．

（1）求证：∠OCB＝∠ABE；

（2）求OC长的取值范围；

（3）若D的坐标为（，），请说明随的变化情况．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）0＜OC≤2．（3）当0＜≤2时，随的增大而增大；当2≤＜2时，随的增大而减小．

【解析】试题分析：（1）根据矩形的性质得出∠CBA=∠COB=90°，求出∠OCB+∠CBO=90°，∠CBO+∠ABE=90°，即可得出答案；（2）过A作AF⊥x轴于F，证△COB∽△BEA，得出比例式，设OB=x，OC=y，则BE=4﹣x，求出y=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2，即可得出答案；（3）求出n=﹣（m﹣2）2+4，根据二次函数的性质得出即可．

试题解析：

（1）证明：∵矩形ABCD，

∴∠ABC＝90°，

∵∠BOC＝90°，

∴∠ABC＝∠BOC，

∵∠BOC＋∠OCB＝∠ABC＋∠ABE，　

∴∠OCB＝∠ABE．

（2）解：过点A作AF⊥轴于F，

　　　　当点B在点F时，OC的长最小，为0．

　　　　

设OB＝，OC＝，则BF＝4－．

　　　　∵AF⊥轴，

∴∠AFB＝90°．

∴∠BOC＝∠AFB＝90°．

∴△BOC∽△AEB．　　

∴．

∴．

∴．

∴OC的最大值为2．

∴OC的取值范围是0＜OC≤2．　

（3）解：过点D作AH⊥轴于H．

由矩形的性质易得△DHC≌△BFA．　

∴DH＝BF＝4－，

CH＝AF＝2．

∴，．

∴．

∵0≤＜4，

∴0＜≤4．

∴当0＜≤2时，随的增大而增大；当2≤＜2时，随的增大而减小．