Question

12．如图，已知四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数$y=\frac{4}{x}$的图象经过点C，且与AB交于点E．若OD=2，则△OAE的面积为2$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 过E作EF垂直于x轴，由OD的长得到C的横坐标，代入反比例解析式求出纵坐标，确定出CD的长，利用勾股定理求出OC的长，即为OA的长，设EF=AF=x，表示出E坐标，代入反比例解析式求出x的值，确定出EF的长，即可求出三角形OAE面积．

解答 解：过点E作EF⊥x轴，交x轴于点F，
∵OD=2，即C横坐标为2，
∴把x=2代入反比例解析式得：y=2，即C（2，2），
∴CD=OD=2，即△OCD为等腰直角三角形，
∵四边形ABCO为菱形，
∴OC∥AB，OA=OC=2$\sqrt{2}$，
∴∠EAF=45°，
设EF=AF=x，则有OF=OA+AF=2$\sqrt{2}$+x，
∴E（2$\sqrt{2}$+x，x），
把E坐标代入反比例解析式得：x（2$\sqrt{2}$+x）=4，
解得：x=-$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$（负值舍去），
则△OAE面积S=$\frac{1}{2}$OA•EF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×（-$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）=2$\sqrt{3}{-}$2．
故答案为：2$\sqrt{3}$-2

点评 此题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．