Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为　　　　度．

 

 

Answer 1

【答案】

108

【解析】

试题分析：连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

解：如图，连接OB、OC

∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，

∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，

又∵AB=AC，

∴∠ABC=（180°-∠BAC）=（180°-54°）=63°，

∵DO是AB的垂直平分线，

∴OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO=27°，

∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，

∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线，

∴点O是△ABC的外心，

∴OB=OC，

∴∠OCB=∠OBC=36°，

∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，

∴OE=CE，

∴∠COE=∠OCB=36°，

在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°．

考点：垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，翻折变换的性质

点评：此类问题综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．