Question

6．如图，在△ABD中，AB=AD=10，BD=4$\sqrt{5}$，△CBD与△ABD关于BD所在的直线成轴对称．
（1）求证：四边形ADCB是菱形；
（2）若AC，BD相交于点O，求对角线AC的长；
（3）动点P从点A开始，沿AD-DO-OC运动，到点C停止，点P的运动过程中，当△APB是直角三角形时，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）由轴对称的性质得出△CBD≌△ABD，得出BC=AB，CD=AD，由已知得出AB=AD=CD=BC，即可证出四边形ADCB是菱形；
（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{5}$，由勾股定理求出OA，即可得出AC的长；
（3）分三种情况：①当点P在AD上，△APB是直角三角形时，∠APB=90°，即PB⊥AD，由菱形的面积求出PB=8，再由勾股定理求出AP即可；
②当点P在OD上，△APB是直角三角形时，点P与O重合，AP=AO=4$\sqrt{5}$；
③当点P在OC上，△APB是直角三角形时，∠ABP=90°，由射影定理得出AB²=AO•AP，即可求出AP．

解答 （1）证明：∵△CBD与△ABD关于BD所在的直线成轴对称，
∴△CBD≌△ABD，
∴BC=AB，CD=AD，
∵AB=AD，
∴AB=AD=CD=BC，
∴四边形ADCB是菱形；
（2）解：由（2）得：四边形ADCB是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{5}$，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AC=2OA=8$\sqrt{5}$；
（3）解：分三种情况：
①当点P在AD上，△APB是直角三角形时，如图1所示：
则∠APB=90°，即PB⊥AD，
∵菱形ADCB的面积=AD•PB=$\frac{1}{2}$AC•BD，
即10PB=$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{5}$×4$\sqrt{5}$，
∴PB=8，
∴AP=$\sqrt{A{B}^{2}-P{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6；
②当点P在OD上，△APB是直角三角形时，点P与O重合，AP=AO=4$\sqrt{5}$；
③当点P在OC上，△APB是直角三角形时，如图2所示；
则∠ABP=90°，
∵AC⊥BD，
∴由射影定理得：AB²=AO•AP，
即10²=4$\sqrt{5}$×AP，
解得：AP=5$\sqrt{5}$；
综上所述：点P的运动过程中，当△APB是直角三角形时，求AP的长为6或4$\sqrt{5}$或5$\sqrt{5}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了轴对称的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、射影定理、菱形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结果．