Question

16．如图，已知过点F（0，1）的动直线l交抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$于P、Q两点，记点P到x轴的距离为d₁，点P到点F的距离为d₂．
（1）猜想d₁与d₂的大小关系，并证明；
（2）分别过P、Q作x轴的垂线PM、QN，垂足为M、N，连接FM、FN，求证：∠MFN=90°；
（3）若线段PQ的长为4，求直线l所对应一次函数的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据解析式用1个未知数t表示出P的坐标，进而表示出P到x轴与到点F的距离，化简可出两者大小相等；
（2）于（1）可知：QF=QN，PF=PM，只要证明∠QFN+∠PFM=90°即可解决问题．
（3）设P（m，n），Q（a，b），直线PQ为y=kx+1，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$消去y得到，x²-2kx-1=0，根据根与系数关系，经常方程即可解决问题．

解答 （1）解：d₁=d₂，理由如下：
∵P为抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$上的点，
∴可设P点的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$），
∴点P到x轴的距离d₁=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$，
P到点F（0，1）的距离d₂=$\sqrt{{t}^{2}+（\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{1}{2}-1）^{2}}$=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$，
∴d₁=d₂．

（2）由（1）可知QN=QF，PF=PM，
∴∠QFN=∠QNF，∠PFM=∠PMF，
∵NQ∥PM，
∴∠NQF+∠FPM=180°，
∴2∠QFN+2∠PFM=180°，
∴∠QFN+∠PFM=90°，
∴∠NFM=90°．

（3）设P（m，n），Q（a，b），直线PQ为y=kx+1，
∴n=mk+1，b=ka+1，
∵PQ=4，
∴QN+PM=4，即n+b=4，
∴m+a=$\frac{2}{k}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$消去y得到，x²-2kx-1=0，
∴m+a=2k，
∴$\frac{2}{k}$=2k，
∴k=±1，
∴直线PQ的解析式为y=x+1，或y=-x+1．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、等腰三角形的性质、根与系数关系等知识，解题的关键是灵活应用这些知识，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．