Question

【题目】已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC＝OB＝3OA．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC交于点P，试判断直线AD，BC是否垂直，并证明你的结论；

(3)在(2)的条件下，若点M，N分别是射线PC，PD上的点，问：是否存在这样的点M，N，使得以点P，M，N为顶点的三角形与△ACP全等?若存在请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2－2x－3； (2)AD⊥BC；(3)存在，M1(1，－2)，N1(4，－3)．或M2(0，－3)，N2(3，－2)．

【解析】试题分析：

（1）由题中条件：二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC＝OB＝3OA，可得点C（0，-3）、点A（-1,0）、点B（3,0），把A、B两点的坐标代入解析式可求得a、b的值，就可得到解析式了；

（2）把（1）中所求解析式配方化为顶点式，得到对称轴方程，就可得到D的坐标，再由A、B、C、D四点的坐标列方程组可求得直线AD和直线BC的解析式，计算两解析式中“k”的值的乘积是否为“-1”就可判断两直线是否垂直了；

（3）如图，由（2）中所得AD、BC的解析式可列方程组解得P的坐标，由射线BC和射线AD互相垂直，垂足为点P，可知△APC和△PMN都是直角三角形；然后分以下两种情况讨论：①当PN=PA，M与C重合时，△APC与△PMN全等；②当PM=PA，N与D重合时，△APC与△PMN全等，并求出相应的点M、N的坐标.

试题解析：

（1）∵二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)与y轴交于点C，

∴点C的坐标为（0，-3），

∴OC=3，

又∵OC=OB=3OA，

∴OB=3，OA=1，

又∵二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，

∴点A、B的坐标分别为（-1，0）、（3，0），

把A、B的坐标代入解析式y＝ax2＋bx－3(a＞0)得： ，解得： ，

∴二次函数解析式为： ；

（2）由可知，该抛物线的对称轴为直线； ，

∵点D和点C（0，-3）关于直线对称，

∴点D的坐标为（2，-3），

设直线AD和直线BC的解析式分别为； ，把A、B、C、D的坐标分别代入相应的解析式得： ， ，

解得： ， ，

∴直线AD的解析式为： ；直线BC的解析式为： ，

∴，

∴直线AD和直线BC是互相垂直的；

（3）存在使△APC和△PMN全等的点M和N，理由如下：

由： 解得 ，

∴点P的坐标为（1，-2），

如上图：∵射线BC和射线AD互相垂直，垂足为点P，

∴△APC与△PMN都是直角三角形，

∴在下列两种情况下两个三角形全等；

①当M与C重合，PN=PA时，两三角形全等，此时M坐标为（0，-3），由线段中点坐标公式可得N的坐标为（3，-4）；

②当N与D重合，PM=PA时，两个三角形全等，此时N的坐标为（2，-3），由两点间距离公式可求得M的坐标为（-1，-4）；

综合①②可知当点M、N的坐标为：

或时，△APC与△PMN全等.