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【题目】已知:在平面直角坐标系xOy中,二次函数yax2bx3(a0)的图象与x轴交于AB两点,点A在点B的左侧,与y轴交于点C,且OCOB3OA

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点,直线ADBC交于点P,试判断直线ADBC是否垂直,并证明你的结论;

(3)(2)的条件下,若点MN分别是射线PCPD上的点,问:是否存在这样的点MN,使得以点PMN为顶点的三角形与ACP全等?若存在请求出点MN的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)yx22x3(2)ADBC(3)存在,M1(1,-2)N1(4,-3).或M2(0,-3)N2(3,-2)

【解析】试题分析

1)由题中条件:二次函数yax2bx3(a0)的图象与x轴交于AB两点,点A在点B的左侧,与y轴交于点C,且OCOB3OA,可得点C0-3)、点A-1,0)、点B3,0,把AB两点的坐标代入解析式可求得ab的值,就可得到解析式了;

2把(1)中所求解析式配方化为顶点式,得到对称轴方程,就可得到D的坐标,再由ABCD四点的坐标列方程组可求得直线AD和直线BC的解析式,计算两解析式中“k”的值的乘积是否为“-1”就可判断两直线是否垂直了;

3如图,由(2)中所得ADBC的解析式可列方程组解得P的坐标,由射线BC和射线AD互相垂直,垂足为点P,可知△APC和△PMN都是直角三角形;然后分以下两种情况讨论:PN=PAMC重合时,△APC与△PMN全等;PM=PAND重合时,△APC与△PMN全等,并求出相应的点MN的坐标.

试题解析

(1)∵二次函数yax2bx3(a0)y轴交于点C

C的坐标为(0-3),

∴OC=3

∵OC=OB=3OA

∴OB=3OA=1

二次函数yax2bx3(a0)的图象与x轴交于AB两点,点A在点B的左侧,

AB的坐标分别为(-10)、(30),

AB的坐标代入解析式yax2bx3(a0) ,解得:

∴二次函数解析式为

2)由可知该抛物线的对称轴为直线

D和点C0-3)关于直线对称

D的坐标为(2-3),

设直线AD和直线BC的解析式分别为; ABCD的坐标分别代入相应的解析式得:

解得

直线AD的解析式为: 直线BC的解析式为:

直线AD和直线BC是互相垂直的;

3存在使△APC△PMN全等的点MN理由如下:

由: 解得

∴点P的坐标为(1-2),

如上图:射线BC和射线AD互相垂直,垂足为点P

∴△APC与△PMN都是直角三角形,

在下列两种情况下两个三角形全等

MC重合,PN=PA时,两三角形全等,此时M坐标为(0-3),由线段中点坐标公式可得N的坐标为(3-4);

ND重合,PM=PA时,两个三角形全等,此时N的坐标为(2-3),由两点间距离公式可求得M的坐标为(-1-4);

综合①②可知当点MN的坐标为:

APC与△PMN全等.

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