【题目】已知:在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,点A在点B的左侧,与y轴交于点C,且OC=OB=3OA.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点,直线AD,BC交于点P,试判断直线AD,BC是否垂直,并证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,若点M,N分别是射线PC,PD上的点,问:是否存在这样的点M,N,使得以点P,M,N为顶点的三角形与△ACP全等?若存在请求出点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2-2x-3; (2)AD⊥BC;(3)存在,M1(1,-2),N1(4,-3).或M2(0,-3),N2(3,-2).
【解析】试题分析:
(1)由题中条件:二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,点A在点B的左侧,与y轴交于点C,且OC=OB=3OA,可得点C(0,-3)、点A(-1,0)、点B(3,0),把A、B两点的坐标代入解析式可求得a、b的值,就可得到解析式了;
(2)把(1)中所求解析式配方化为顶点式,得到对称轴方程,就可得到D的坐标,再由A、B、C、D四点的坐标列方程组可求得直线AD和直线BC的解析式,计算两解析式中“k”的值的乘积是否为“-1”就可判断两直线是否垂直了;
(3)如图,由(2)中所得AD、BC的解析式可列方程组解得P的坐标,由射线BC和射线AD互相垂直,垂足为点P,可知△APC和△PMN都是直角三角形;然后分以下两种情况讨论:①当PN=PA,M与C重合时,△APC与△PMN全等;②当PM=PA,N与D重合时,△APC与△PMN全等,并求出相应的点M、N的坐标.
试题解析:
(1)∵二次函数y=ax2+bx-3(a>0)与y轴交于点C,
∴点C的坐标为(0,-3),
∴OC=3,
又∵OC=OB=3OA,
∴OB=3,OA=1,
又∵二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,点A在点B的左侧,
∴点A、B的坐标分别为(-1,0)、(3,0),
把A、B的坐标代入解析式y=ax2+bx-3(a>0)得: ,解得: ,
∴二次函数解析式为: ;
(2)由可知,该抛物线的对称轴为直线; ,
∵点D和点C(0,-3)关于直线对称,
∴点D的坐标为(2,-3),
设直线AD和直线BC的解析式分别为; ,把A、B、C、D的坐标分别代入相应的解析式得: , ,
解得: , ,
∴直线AD的解析式为: ;直线BC的解析式为: ,
∴,
∴直线AD和直线BC是互相垂直的;
(3)存在使△APC和△PMN全等的点M和N,理由如下:
由: 解得 ,
∴点P的坐标为(1,-2),
如上图:∵射线BC和射线AD互相垂直,垂足为点P,
∴△APC与△PMN都是直角三角形,
∴在下列两种情况下两个三角形全等;
①当M与C重合,PN=PA时,两三角形全等,此时M坐标为(0,-3),由线段中点坐标公式可得N的坐标为(3,-4);
②当N与D重合,PM=PA时,两个三角形全等,此时N的坐标为(2,-3),由两点间距离公式可求得M的坐标为(-1,-4);
综合①②可知当点M、N的坐标为:
或时,△APC与△PMN全等.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E,连接AE.
(1)若D为AC的中点,连接DE,证明:DE是⊙O的切线;
(2)若BE=3EC,求tan∠ABC.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(﹣3,2),B(﹣4,﹣3),C(﹣1,﹣1).
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;写出点△A1,B1,C1的坐标(直接写答案):A1 ;B1 ;C1 ;
(2)△A1B1C1的面积为 ;
(3)在y轴上画出点P,使PB+PC最小.
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【题目】下列调查中,最适合采用全面调查(普查)方式的是( )
A. 对宜春市居民日平均用水量的调查
B. 对宜春一套《民生直通车》栏目收视率的调查
C. 对一批LED节能灯使用寿命的调查
D. 对某校七年级(1)班同学的身高情况的调查
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