Question

13．如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x-2）²+k经过点A、B．求：
（1）点A、B的坐标；
（2）抛物线的函数表达式；
（3）在抛物线对称轴上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由y=-3x+3得，当x=0时，y=3；当y=0时，x=1，即可确定点A，B的坐标；
（2）把点A（1，0）、B（0，3）代入y=a（x-2）²+k得：$\left\{\begin{array}{l}{a（1-2）^{2}+k=0}\\{a（0-2）^{2}+k=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{k=-1}\end{array}\right.$，即可解答；
（3）存在，由AO=1，BO=3，得到AB=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{10}$．设对称x轴交于点D，P（2y），D（2，0），所以DA=1，PD=|y|，PA²=PD²+DA²=y²+1，分三种情况讨论解答：当PA=AB即PA²=AB²=10时；当PB=AB即PB²=AB²=10时；当PA=PB即PA²=PB²时．

解答 解：（1）由y=-3x+3得，当x=0时，y=3；当y=0时，x=1
∴A（1，0）、B（0，3）．  
（2）把点A（1，0）、B（0，3）代入y=a（x-2）²+k得：
$\left\{\begin{array}{l}{a（1-2）^{2}+k=0}\\{a（0-2）^{2}+k=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{k=-1}\end{array}\right.$
∴抛物线的函数表达式为y=（x-2）²-1． 
（3）∵AO=1，BO=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{10}$．
设对称x轴交于点D，P（2，y），D（2，0），
∴DA=1，PD=|y|，PA²=PD²+DA²=y²+1，
当PA=AB即PA²=AB²=10时，
∴y²+1=10，
解得y=±3
∴P（2，±3），
但当P（2，-3）时，P、A、B在同一条直线上，不合题意舍去．
∴P₁（2，3），
当PB=AB即PB²=AB²=10时，如图，过B作BE⊥对称轴于点E，

则E（2，3），EB=2，PE²=（y-3）²，
∴PB²=PE²+BE²=（y-3）²+4=10，
解得$y=3±\sqrt{6}$
∴P₂（2，3+$\sqrt{6}$）、P₃（2，3-$\sqrt{6}$），当PA=PB即PA²=PB²时，
y²+1=（y-3）²+4
解得y=2，
∴P₄（2，2）．
综上所述，所求的点为P₁（2，3），P₂（2，3+$\sqrt{6}$），P₃（2，3-$\sqrt{6}$），P₄（2，2）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，在（3）中解决问题的关键是采用分类讨论思想解答．