Question

【题目】如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB．正确的有（　　）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

通过证明△AMN∽△CBN，可得，可证CN=2AN；过D作DH∥BM交AC于G，可证四边形BMDH是平行四边形，可得BH=MD=BC，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得DN=DC；通过证明△ABM∽△BCA，可得，可求AB=BC，即可得tan∠DAC=；由平行线性质可得∠DAC=∠ACB，∠ABC=∠ANM=90°，可证△AMN∽△CAB，则可求解．

∵AD//BC，

∴△AMN∽△CBN，

∴，

∵M是AD边的中点，

∴AM＝MD＝AD＝BC，

∴，

∴CN＝2AN，故①正确；

如图，过D作DH//BM交AC于G，

∵DH//BM，BM⊥AC，

∴DH⊥AC，

∵DH//BM，AD//BC，

∴四边形BMDH是平行四边形，

∴BH＝MD＝AD＝BC，

∴BH＝CH，

∵∠BNC＝90°，

∴NH＝HC，

∵DH⊥AC，

∴DH是NC的垂直平分线，

∴DN＝CD，故②正确；

∵AD//BC，

∴∠DAC＝∠BCA，

∵∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠AMB＝90°，

∴∠BAC＝∠AMB，

∵∠BAM＝∠ABC，

∴△ABM∽△BCA，

∴，

∴AB2＝BC2，

∴AB＝BC，

∵tan∠DAC＝tan∠ACB＝，

∴tan∠DAC＝，故③错误，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，

∴∠DAC＝∠ACB，

∵∠ABC＝∠ANM＝90°，

∴△AMN∽△CAB，故④正确；

故选：C．