Question

【题目】二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A(1，0)、B(4，0)．

(1)求此二次函数的表达式；

(2)如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F(，0)，动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标；

(3)如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，点P为抛物线上一动点，若∠PMA=45°，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）．

（2）N或N．

（3）P．

【解析】

（1）直接把A(1，0)、B(4，0)坐标代入函数解析式求得的值，从而得到抛物线的解析式；

（2）先求得抛物线的对称轴，然后求得CD，EF的长，设点N的坐标为（）则ND＝，NE＝，然后依据相似三角形的性质列出关于的方程，然后可求得的值；

（3）过点A作AD∥y轴，过点M作DM∥x轴，交点为D，过点A作AE⊥AM，取AE＝AM，作EF⊥x轴，垂足为F，连结EM交抛物线与点P．则△AME为等腰直角三角形，然后再求得点M的坐标，从而可得到MD＝2，AD＝6，然后证明∴△ADM≌△AFE，于是可得到点E的坐标，然后求得EM的解析式为，最后求得直线EM与抛物线的交点坐标即可．

解：(1)把A(1，0)、B(4，0)代入y=ax2+bx+4

解得：

所以二次函数为：．

(2)因为CD⊥m，FE⊥m，

所以

①当时，则

因为抛物线的对称轴为，C（0,4）F(，0)

所以CD＝，EF＝，设N（，）

所以NE＝，DN＝4－，

所以 ，即，

解得：，所以N（，2）．

②当时，则，

所以，解得： ，

所以N（， ），

综上可知N（，2）或N（， ）．

(3) 如图所示：过点A作AD∥y轴，过点M作DM∥ 轴，交点为D，

过点A作AE⊥AM，取AE=AM，作EF⊥轴，垂足为F，连结EM交抛物线与点P．

∵AM＝AE，∠MAE＝90°，

∴∠AMP＝45°．

将代入抛物线的解析式得：，

∴点M的坐标为（1，6）． ∴MD＝2，AD＝6．

∵∠DAM+∠MAF＝90°，∠MAF+∠FAE＝90°，

∴∠DAM＝∠FAE．

在△ADM和△AFE中

∴△ADM≌△AFE． ∴EF＝DM＝2，AF＝AD＝6．

∴E（5，-2）．

设EM的解析式为． 将点M和点E的坐标代入得：

解得

∴直线EM的解析式为．

所以

解得： 或 , ∴点P的坐标为（4，0）．