Question

【题目】某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量P（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p＝x+8．从市场反馈的信息发现，该食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：

销售价格x（元/千克）	2	4	……	10
市场需求量q（百千克）	12	10	……	4

已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克，

（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种食材能全部售出；当每天的产量大于市场需求量时，只能售出市场需求的量，而剩余的食材由于保质期短作废弃处理；

①当每天的食材能全部售出时，求x的取值范围；

②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当x为多少时，y有最大值，并求出最大利润．

Answer 1

【答案】（1）q＝﹣x+14，其中2≤x≤10；（2）①2≤x≤4，②y＝；（3）x＝时取最大值，最大利润百元．

【解析】

（1）根据表格数据，设q与x的函数关系式为：q＝kx+b，待定系数法即可求得；

（2）①根据题意，p≤q，计算即可求得x的取值范围；

②根据销售利润=销售量（售价-进价），列出厂家每天获得的利润（百元）与销售价格的函数关系；

（3）根据（2）中的条件分情况讨论即可.

（1）由表格的数据，设q与x的函数关系式为：q＝kx+b

根据表格的数据得，解得，

故q与x的函数关系式为：q＝﹣x+14，其中2≤x≤10

（2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q

即x+8≤﹣x+14，解得x≤4

又2≤x≤10，所以此时2≤x≤4

②由①可知，当2≤x≤4时，

y＝（x﹣2）p＝（x﹣2）（x+8）＝x2+7x﹣16

当4＜x≤10时，y＝（x﹣2）q﹣2（p﹣q）

＝（x﹣2）（﹣x+14）﹣2[x+8﹣（﹣x+14）]

＝﹣x2+13x﹣16

即有y＝

（3）当2≤x≤4时，

y＝x2+7x﹣16的对称轴为x＝＝﹣7

∴当2≤x≤4时，随x的增大而增大

∴x＝4时有最大值，y＝20

当4＜x≤10时

y＝﹣x2+13x﹣16＝﹣（x﹣）2+，

∵﹣1＜0，＞4

∴x＝时取最大值

即此时y有最大利润百元．