Question

【题目】如图，△ABC，△EFG分别是边长为2和1的等边三角形，D是边BC，EF的中点，直线AG，FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转一周时，点M经过的路径长为______．

Answer 1

【答案】

【解析】

连接AD、DG，易证△ADG∽△CDF，∠DAG＝∠DCF，通过推导角的关系证明∠AMC＝90°，则点M在以AC为直径的圆周上运动，进而可解决问题．

如图，连接AD、DG．

∵△ABC，△EFG均是边长为2和1的等边三角形，BD＝CD，DE＝DF，

∴AD⊥BC，GD⊥EF，

∴∠ADC＝∠GDF＝90°，

∴∠ADG＝∠CDF，

∵，

∴△ADG∽△CDF，

∴∠DAG＝∠DCF，

∵∠DAG+∠MAC+∠ACD＝90°，

∴∠DCF+∠ACD+∠CAM＝∠ACM+∠CAM＝90°，

∴∠AMC＝90°，

∴在旋转过程中，∠AMC＝90°不变，

∴点M在以AC为直径圆周上运动，且点M运动的路径是来回共两个的圆周，

∴点M经过的路径长为π，

故答案为：π．