【题目】已知,AB为⊙O的直径,弦BC、AF相交于点E,过点E作ED⊥AB,∠AEC=∠BED.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,当∠BAF=45°时,OC交AF于点H,作FG⊥BH于点Q,交AB于点G,连接GH,求证:∠AGH=∠BGF;
(3)如图3,在(2)的条件下,射线HG与⊙O交于点P,过点P作PK⊥BH交AB于点M,垂足为点K,点N为BH的中点,MN=,求⊙O的半径.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)6.
【解析】
(1)如图1,连接BF,证△BDE≌△BFE,推出∠ABC=∠FBC,根据圆周角定理,即可得出结论;
(2)如图2,连接OF、BF,作AS⊥AF于点A,交FG的延长线于点S,证△FSA≌△BHF,再证△SAG≌△HAG,可得∠SGA=∠AGH,即可得出结论;
(3)如图3,过点O作OR⊥HP于点R,OT⊥BH于点T,连接BP分别证△ORH≌△OTH和△ORP≌△OTB,推出PH=BH,设∠OPR=∠OBT=α,推出PO⊥BO,∠OPB=∠OBP=45°,PG=PM,OG=OM,过点M作ML⊥BP于点L,求出tan∠PML=tan∠PBH=2,设BM=4a,则BL=ML=2a,结合N为BH的中点,GH=2MN=
,过点G作GU⊥OH于点U,在Rt△GUH中,可求出GU=
,即可求出a的值,可进一步求出OB的长.
(1)如图1,连接BF,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AFB=90°,
∵∠AEC=∠BED,∠AEC=∠BEF,
∴∠BEF=∠BED,
∵ED⊥AB,
∴∠BDE=∠AFB=90°,
又∵BE=BE,
∴△BDE≌△BFE(AAS),
∴∠ABC=∠FBC,
∴;
(2)如图2,连接OF、BF,作AS⊥AF于点A,交FG的延长线于点S,
∵,
∴∠AOC=∠FOC,
∵AO=OF,
∴OC⊥AF,
∴AH=HF=AF,
∵∠BAF=45°,∠AFB=90°
∴AF=BF,
∵FG⊥BH,AS⊥AF,
∴∠S=∠BHF,
又∵∠SAF=∠HFB=90°,
∴△FSA≌△BHF(AAS),
∴AS=HF=AH,
∵∠SAG=∠GAH=45°,AG=AG,
∴△SAG≌△HAG(SAS),
∴∠SGA=∠AGH,
∴∠AGH=∠BGF;
(3)如图3,过点O作OR⊥HP于点R,OT⊥BH于点T,连接BP,
∵△SAG≌△HAG,
∴∠AHG=∠S=∠BHF,
∵OH⊥AF,
∴∠OHG=∠OHB,
∵∠ORH=∠OTH=90°,OH=OH,
∴△ORH≌△OTH(AAS),
∴RH=TH,OR=OT,
又∵OP=OB,∠ORP=∠OTB=90°,
∴Rt△ORP≌Rt△OTB(HL),
∴PR=BT,
∴PR+RH=BT+TH,
即PH=BH,
∴∠HPB=∠HBP,
设∠OPR=∠OBT=α,
∵∠AOH=∠A=45°,
∴∠PHO=∠BHO=∠AOH﹣∠OBH=45°﹣α,
∴∠PHB=90°﹣2α,
∴∠HPB=∠HBP=45°+α,
∴∠PBO=45°,
∵PO=BO,
∴∠OPB=∠OBP=45°,
∴PO⊥AB,
∵PK⊥BH,GF⊥BH,
∴PK∥GF,
∴∠PMG=∠BGF,
∵∠PGM=∠AGH=∠BGF,
∴∠PGM=∠PMG,
∴PG=PM,
∴OG=OM,
过点M作ML⊥BP于点L,
∵∠PBH=∠BHF=45°+α,
∴tan∠PBH=tan∠BHF==2,
∵∠MPL=∠BPK,
∴∠PML=∠PBH,
∴tan∠PML=tan∠PBH=2,
设BM=4a,则BL=ML=2a,
∴PL=4a,
∴PB=6a,
∴PO=BO=6a,
∴OM=OG=2a,
∴GM=4a,
∴GM=BM,
∵N为BH的中点,
∴MN为BGH的中位线,
∴GH=2MN=,
过点G作GU⊥OH于点U,
则tan∠GHO=tan∠OHB=tan∠FBH=,
在Rt△GUH中,设GU=b,则UH=2b,GH=b,
∴b=
,
∴GU=,
∴GO=2=2a,
∴a=1,
∴OB=6a=6,
即⊙O的半径为6.
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【题目】某中学组织七、八、九年级学生参加“州庆60年,梦想红河”作文比赛.该校将收到的参赛作文进行分年级统计,绘制了如图1和图2两幅不完整的统计图. 根据图中提供的信息完成以下问题.
(1)扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 度,并补全条形统计图;
(2)经过评审,全校有4篇作文荣获特等奖,其中有一篇来自七年级,学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上,把七年级特等奖作文被选登在校刊上的事件记为A,其它年级特等奖作文被选登在校刊上的事件分别记为B,C,D. 请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率.
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【题目】有一个二次函数满足以下条件:①函数图象与x轴的交点坐标分别为A(1,0),B(x2,y2)(点B在点A的右侧);②对称轴是x=3;③该函数有最小值是﹣2.
(1)请根据以上信息求出二次函数表达式;
(2)将该函数图象中x>x2部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”,试结合图象平行于x轴的直线y=m与图象“G”的交点的个数情况.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,DB=DC,点E、F分别为DB、BC的中点,连接AE、EF、AF.
(1)求证:AE=EF;
(2)当AF=AE时,设∠ADB=α,∠CDB=β,求α,β之间的数量关系式.
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【题目】为迎接2016年中考,某中学对全校九年级学生进行了一次数学模拟考试,并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析,绘制成如下两幅不完整的统计图,请你根据统计图中提供的信息解答下列问题:
(1)这次调査中,一共抽取了多少名学生?
(2)求样本中表示成绩为“中”的人数,并将条形统计图补充完整;
(3)该学校九年级共有1000人参加了这次数学考试,估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在边AC上,⊙O与边AC相交于点D、与边AB相切于点E,过点D作DP∥BC交AB于点P.
(1)求证:PD=PE;
(2)连接CP,若点E是AP的中点,OD:DC=2:1,CP=13,求⊙O的半径.
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【题目】已知在△ABC中,∠ACB=135°,AC=8,D、E分别是边BC、AB上的一点,若tan∠DEA=2,DE=,S△DEB=4,求四边形ACDE的面积.
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【题目】在我们认识的多边形中,有很多轴对称图形.有些多边形,边数不同对称轴的条数也不同;有些多边形,边数相同但却有不同数目的对称轴.回答下列问题:
(1)非等边的等腰三角形有________条对称轴,非正方形的长方形有________条对称轴,等边三角形有___________条对称轴;
(2)观察下列一组凸多边形(实线画出),它们的共同点是只有1条对称轴,其中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的,仿照类似的修改方式,请你在图1-4和图1-5中,分别修改图1-2和图1-3,得到一个只有1条对称轴的凸五边形,并用实线画出所得的凸五边形;
(3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形,于是他选择修改长方形,图2中是他没有完成的图形,请用实线帮他补完整个图形;
(4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形,并用虚线标出对称轴.
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【题目】如图,已知在矩形ABCD中,M是AD边的中点,BM与AC垂直,交直线AC于点N,连接DN,则下列四个结论中:①CN=2AN;②DN=DC;③tan∠CAD=;④△AMN∽△CAB.正确的有( )
A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④
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