Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在边AC上，⊙O与边AC相交于点D、与边AB相切于点E，过点D作DP∥BC交AB于点P．

（1）求证：PD＝PE；

（2）连接CP，若点E是AP的中点，OD：DC＝2：1，CP＝13，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为2

【解析】

（1）先由平行线的性质和圆的切线的判定定理得出PD是⊙O的切线，再根据切线长定理即可证；

（2）如图（见解析），连接OE、DE，利用直角三角形斜边中线的性质和题（1）的结论可得是等边三角形，再利用直角三角形两锐角互余可得的度数，然后利用三角函数可得半径与AE的等量关系，从而可知半径与PD的等量关系，最后在中利用勾股定理求出DC的长，从而可得圆的半径.

（1）

是⊙O的半径

∴PD是⊙O的切线

∵PE是⊙O的切线

；

（2）如图，连接OE、DE

∵点E是AP的中点，且是直角三角形

是等边三角形

∵PE与⊙O切点E

∴设，则

在中，

则

在中，

，解得

故⊙O的半径为.