Question

【题目】在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．

（1）当m=4时，求n的值；

（2）设m=﹣2，当﹣3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；

（3）当﹣3≤x≤0时，若二次函数﹣3≤x≤0时的最小值为﹣4，求m、n的值．

Answer 1

【答案】（1）3（2）-15（3）m=2，n=-3

【解析】分析：（1）根据一次函数与x轴的交点，求出A点的坐标，然后把A点坐标和m的值代入可求出n的值；

（2）表示出二次函数的对称轴，由m的值以及二次函数的图像与性质得到二次函数的最值；

（3）根据函数的对称轴的位置，分类讨论即可求出m、n的值.

详解：（1）当y=x+3=0时，x=﹣3，

∴点A的坐标为（﹣3，0）．

∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A，

∴0=9﹣3m+n，即n=3m﹣9，

∴当m=4时，n=3m﹣9=3．

（2）抛物线的对称轴为直线x=﹣，

当m=﹣2时，对称轴为x=1，n=3m﹣9=﹣15，

∴当﹣3≤x≤0时，y随x的增大而减小，

∴当x=0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为﹣15．

（3）①当对称轴﹣≤﹣3，即m≥6时，如图1所示．

在﹣3≤x≤0中，y=x2+mx+n的最小值为0，

∴此情况不合题意；

②当﹣3＜﹣＜0，即0＜m＜6时，如图2，

有，

解得：或（舍去），

∴m=2、n=﹣3；

③当﹣≥0，即m≤0时，如图3，

有，

解得：（舍去）．

综上所述：m=2，n=﹣3．