Question

9．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点 E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．
（1）求E点坐标；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x-h）²+k，求a，h，k；
（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点E作EF⊥x轴于点F，证△COD≌△DFE即可；
（2）直线AB就是对称轴，确定了h，算出C、E两点坐标，代入抛物线解析式，确定a、k；
（3）分三种情况讨论：N在抛物线顶点处；N在抛物线对称轴左侧；N在抛物线对称轴右侧．

解答 解：（1）过点E作EF⊥x轴于点F，如图1，

∵DE⊥DC，
∴∠CDO+∠EDF=90°，
∵∠CDO+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠EDF，
在△COD和△DFE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCD=∠FDE}\\{∠COD=∠DFE}\\{CD=DE}\end{array}\right.$
∴△COD≌△DFE（AAS），
∴OD=EF，DF=CO，
∵CO=OA=2，D为OA中点，
∴EF=OD=DA=1，DF=OC=2，
∴E（3，1）；
（2）∵抛物线y=a（x-h）²+k以AB为对称轴，
∴h=2，
∵y=a（x-h）²+k经过C（0，2）和E（3，1）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+k=2}\\{a+k=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{k=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$；

（3）①若以DE为平行四边形的对角线，如图2，

此时，N点就是抛物线的顶点（2，$\frac{2}{3}$），
由N、E两点坐标可求得直线NE的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x；
∵DM∥EN，
∴设DM的解析式为：y=$\frac{1}{3}x+b$，
将D（1，0）代入可求得b=-$\frac{1}{3}$，
∴DM的解析式为：y=$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$，
令x=2，则y=$\frac{1}{3}$，
∴M（2，$\frac{1}{3}$）；
②过点C作CM∥DE交抛物线对称轴于点M，连接ME，如图3，

∵CM∥DE，DE⊥CD，
∴CM⊥CD，
∵OC⊥CB，
∴∠OCD=∠BCM，
在△OCD和△BCM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCM=∠OCD}\\{∠CBM=∠COD}\\{CO=CB}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△BCM（ASA），
∴CM=CD=DE，BM=OD=1，
∴CDEM是平行四边形，
即N点与C占重合，
∴N（0，2），M（2，3）；
③N点在抛物线对称轴右侧，MN∥DE，如图4，

作NG⊥BA于点G，延长DM交BN于点H，
∵MNED是平行四边形，
∴∠MDE=MNE，∠ENH=∠DHB，
∵BN∥DF，
∴∠ADH=∠DHB=∠ENH，
∴∠MNB=∠EDF，
在△BMN和△FED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBN=∠EFD}\\{∠BNM=∠FDE}\\{MN=DE}\end{array}\right.$
∴△BMN≌△FED（AAS），
∴BM=EF=1，
BN=DF=2，
∴M（2，1），N（4，2）；
综上所述，N、M分别以下组合时，以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形
N（2，$\frac{2}{3}$），M（2，$\frac{1}{3}$）；
N（0，2），M（2，3）；
M（2，1），N（4，2）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定与性质等知识点，综合性较强，有一定难度．第（3）问体现分类讨论的数学思想，注意不要漏解．