Question

【题目】如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C＝90°，∠A＝30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC＝7+2，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长为_____．

Answer 1

【答案】15+5．

【解析】

添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为，先求出△ABC的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO1、四边形O1O2HG、四边形OO2IF均为矩形、四边形OECF为正方形，得出∠OO1O2＝60°＝∠ABC、∠O1OO2＝90°，从而知△OO1O2∽△CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案．

如图，圆心O的运动路径长为，

过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分别为点D、F、G，

过点O作OE⊥BC，垂足为点E，

过点O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分别为点H、I，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°、∠A＝30°，

∴AC＝＝7+6，AB＝2BC＝14+4，∠ABC＝60°，

∴C△ABC＝13+27，

∵O1D⊥BC、O1G⊥AB，

∴D、G为切点，

∴BD＝BG，

在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，

∵ ，

∴△O1BD≌△O1BG（HL），

∴∠O1BG＝∠O1BD＝30°，

在Rt△O1BD中，∠O1DB＝90°，∠O1BD＝30°，

∴BD＝＝2，

∴OO1＝7+2﹣2﹣2＝5，

∵O1D＝OE＝2，O1D⊥BC，OE⊥BC，

∴O1D∥OE，且O1D＝OE，

∴四边形OEDO1为平行四边形，

∵∠OED＝90°，

∴四边形OEDO1为矩形，

同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，

又OE＝OF，

∴四边形OECF为正方形，

∵∠O1GH＝∠CDO1＝90°，∠ABC＝60°，

∴∠GO1D＝120°，

又∵∠FO1D＝∠O2O1G＝90°，

∴∠OO1O2＝360°﹣90°﹣90°＝60°＝∠ABC，

同理，∠O1OO2＝90°，

∴△OO1O2∽△CBA，

∴，即，

∴C△OO1O2＝15+5，

即圆心O运动的路径长为15+5.

故答案为15+5．