【题目】如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点E,=,点D在上,连接CO,并延长CO交线段AB于点F,连接OA、OB,且OA=,tan∠OBA=.
(1)求证:∠OBA=∠OCD;
(2)当△AOF是直角三角形时,求EF的长;
(3)是否存在点F,使得S△CEF=4S△BOF,若存在,请求EF的长,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)EF=或;(3)存在
【解析】
(1)先判断出∠ECB=∠EBC,再判断出∠OCB=∠OBC,即可得出结论;
(2)先求出EF,再分两种情况,利用锐角三角函数和相似三角形的性质即可得出结论;
(3)先利用面积关系得出,进而利用△OAF∽△EFC得出比例式,即可得出结论.
解:(1)如图1,连接BC,
∵ ,
∴∠ECB=∠EBC,
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠OCD=∠ECF=∠ECB﹣∠OCB=∠EBC﹣∠OBC=∠OBA;
(2)∵OA=OB,
∴∠OAF=∠OBA,
∴∠OAF=∠ECF,
①当∠AFO=90°时,
∵OA=,tan∠OBA= ,
∴OC=OA=,OF=1,AB=4,
∴EF=CFtan∠ECF=CFtan∠OBA=
②当∠AOF=90°时,
∵OA=OB,
∴∠OAF=∠OBA,
∴tan∠OAF=tan∠OBA=,
∵OA=,
∴OF=OAtan∠OAF=,
∴AF=,
∵∠OAF=∠OBA=∠ECF,∠OFA=∠EFC,
∴△OFA∽△EFC,
∴,
∴EF=OF=,
即:EF=或;
(3)存在,如图2,连接OE,
∵∠ECB=∠EBC,
∴CE=EB,
∵OE=
∴△OEC≌△OEB,
∴S△OEC=S△OEB,
∵S△CEF=4S△BOF,
∴S△CEO+S△EOF=4(S△BOE﹣S△EOF),
∴,
∴,
∴FO=CO=,
∵△OFA∽△EFC,
∴,
∴BF=BE﹣EF=CE﹣EF=EF,
∴AF=AB﹣BF=4﹣EF,
∵△OAF∽△EFC,
∴,
∴,
∴EF=3﹣.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;③3a+c>0;④当x<0时,y随x增大而增大,其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】某商场购进一种每件价格为90元的新商品,在商场试销时发现:销售单价元件与每天销售量件之间满足如图所示的关系.
求出y与x之间的函数关系式;
写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式,并求出售价定为多少时,每天获得的利润最大?最大利润是多少?
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【题目】A、B、C三人玩篮球传球游戏,游戏规则是:第一次传球由A将球随机地传给B,C两人中的某一人,以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人.
(1)求两次传球后,球恰在B手中的概率;
(2)求三次传球后,球恰在A手中的概率.
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【题目】如图,△ABC是一块直角三角板,且∠C=90°,∠A=30°,现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部,将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周,回到起点位置时停止,若BC=7+2,圆形纸片的半径为2,求圆心O运动的路径长为_____.
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【题目】已知二次函数与一次函数,令.
(1)若的函数图象相交于轴上的同一点.
①求的值;
②当为何值时,的值最小,试求出该最小值.
(2)当时,随的增大而减小,请写出的大小关系并给予证明.
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【题目】图1是用钢丝制作的一个几何探究工具,其中△ABC内接于⊙G,AB是⊙G的直径,AB=6,AC=2.现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中(如图2),然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动,点B在射线OY上也随之向点O滑动(如图3),当点B滑动至与点O重合时运动结束. 在整个运动过程中,点C运动的路程是( )
A. 4 B. 6 C. 4﹣2 D. 10﹣4
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【题目】计算:()﹣2﹣+(﹣4)0﹣cos45°.
【答案】1
【解析】试题分析:把原式的第一项根据负整数指数幂的意义化简,第二项根据算术平方根的定义求出9的算术平方根,第三项根据零指数公式化简,最后一项利用特殊角的三角函数值化简,合并后即可求出值.
试题解析:原式=4﹣3+1﹣
=2﹣1
=1.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何”.大意是说,已知甲、乙二人同时从同一地
点出发,甲的速度为7,乙的速度为3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲、乙各走了多远?
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【题目】甲、乙两车分别从A,B两地同时相向匀速行驶.当乙车到达A地后,继续保持原速向远离B的方向行驶,而甲车到达A地后立即掉头,并保持原速与乙车同向行驶,经过一段时间后两车同时到达C地.设两车行驶的时间为x(小时),两车之间的距离为y(千米),y与x之间的函数关系如图所示,则B,C两地相距 千米.
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