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【题目】如图,在⊙O中,弦ABCD相交于点E,点D上,连接CO,并延长CO交线段AB于点F,连接OAOB,且OAtanOBA

1)求证:∠OBA=∠OCD

2)当AOF是直角三角形时,求EF的长;

3)是否存在点F,使得SCEF4SBOF,若存在,请求EF的长,若不存在,请说明理由.

【答案】(1)见解析;(2)EF;(3)存在

【解析】

1)先判断出∠ECB=∠EBC,再判断出∠OCB=∠OBC,即可得出结论;

2)先求出EF,再分两种情况,利用锐角三角函数和相似三角形的性质即可得出结论;

3)先利用面积关系得出,进而利用OAF∽△EFC得出比例式,即可得出结论.

解:(1)如图1,连接BC

∴∠ECB=∠EBC

OBOC

∴∠OCB=∠OBC

∴∠OCD=∠ECF=∠ECB﹣∠OCB=∠EBC﹣∠OBC=∠OBA

2)∵OAOB

∴∠OAF=∠OBA

∴∠OAF=∠ECF

①当∠AFO90°时,

OAtanOBA

OCOAOF1AB4

EFCFtanECFCFtanOBA

②当∠AOF90°时,

OAOB

∴∠OAF=∠OBA

tanOAFtanOBA

OA

OFOAtanOAF

AF

∵∠OAF=∠OBA=∠ECF,∠OFA=∠EFC

∴△OFA∽△EFC

EFOF,

即:EF

3)存在,如图2,连接OE

∵∠ECB=∠EBC

CEEB

OEOEOBOC

∴△OEC≌△OEB

SOECSOEB

SCEF4SBOF

SCEO+SEOF4SBOESEOF),

FOCO

∵△OFA∽△EFC

BFBEEFCEEFEF

AFABBF4EF

∵△OAF∽△EFC

EF3

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型】解答
束】
16

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