【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;③3a+c>0;④当x<0时,y随x增大而增大,其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】
利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),则可对②进行判断;由对称轴方程得到b=2a,然后根据x=1时函数值为0可得到3a+c=0,则可对③进行判断;根据二次函数的性质对④进行判断.
解:∵抛物线与x轴有2个交点,
∴>0,即4ac<,所以①正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
而点(1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),
∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是=1,=3,所以②正确;
∵x==1,即b=2a,
而x=1时,y=0,即ab+c=0,
∴a+2a+c=0,所以③错误;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴当x<1时,y随x增大而增大,所以④正确.
故选:B.
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【题目】将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD依次不断对折,可得到的矩形纸BCFE,AEML,GMFH,LGPN.
(1)矩形BCFE,AEML,GMFH,LGPN,长和宽的比变了吗?
(2)在这些矩形中,有成比例的线段吗?
(3)你认为这些大小不同的矩形相似吗?
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【题目】如图,在直角坐标系内,O为原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,BO=5,sin∠BOA=. 求:(1)点B的坐标;(2)cos∠BAO的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A 、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求直线BC的表达式;
(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点 ,与直线BC交于点,若x1<x2<x3,结合函数的图象,求x1+x2+x3的取值范围.
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=10cm,BC=5cm,点P从点C出发沿线段CA以每秒2cm的速度运动,同时点Q从点B出发沿线段BC以每秒1cm的速度运动.设运动时间为t秒(0<t<5).
(1)填空:AB= cm;
(2)t为何值时,△PCQ与△ACB相似;
(3)如图2,以PQ为斜边在异于点C的一侧作Rt△PEQ,且,连结CE,求CE.(用t的代数式表示).
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【题目】已知关于x的方程x2+5x﹣p2=0.
(1)求证:无论p取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两个实数根为x1、x2,当x1+x2=x1x2时,求p的值.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以A、C为圆心,大于AC长为半径画弧,两弧相交于点M、N,作直线MN,与AC交于点D,与BC交于点E,连接AE.
(1)∠ADE= °;
(2)AE CE(填“>、<、=”)
(3)当AB=3、AC=5时,△ABE的周长是 .
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【题目】如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点E,=,点D在上,连接CO,并延长CO交线段AB于点F,连接OA、OB,且OA=,tan∠OBA=.
(1)求证:∠OBA=∠OCD;
(2)当△AOF是直角三角形时,求EF的长;
(3)是否存在点F,使得S△CEF=4S△BOF,若存在,请求EF的长,若不存在,请说明理由.
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