Question

【题目】定义：在平面直角坐标系中，将点P绕点T（t，0）（t＞0）旋转180°得到点Q，则称点Q为点P的“发展点”．

（1）当t＝3时，点（0，0）的“发展点”坐标为　 　，点（﹣1，﹣1）的“发展点”坐标为　 　．

（2）若t＞2，则点（2，3）的“发展点”的横坐标为　 　（用含t的代数式表示 ）．

（3）若点P在直线y＝2x+6上，其“发展点”Q在直线y＝2x﹣8上，求点T的坐标．

（4）点P（2，2）在抛物线y＝﹣x2+k上，点M在这条抛物线上，点Q为点P的“发展点”，若△PMQ是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）（6，0），（7，1）；（2）2t﹣2；（3）T（，0）；（4）t的值为或5．

【解析】

（1）利用数形结合的思想和中心对称的性质求解；

（2）利用数形结合的思想和中心对称的性质求解；

（3）设，，点和点关于对称，根据中点坐标公式得到，，然后求出得到点坐标；

（4）先把代入中求出得到抛物线解析式为，利用点为点的“发展点”得到点为的中点，再根据等腰直角三角形的性质得到为等腰直角三角形，讨论：当时，把点绕点顺时针旋转得到点，利用旋转的性质易得，然后点的坐标代入得，再解方程即可；当时，利用同样方法求对应的值．

（1）把（0，0）绕点（3，0）旋转180°得到点的坐标为（6，0）；

把（﹣1，﹣1）绕点（3，0）旋转180°得到点的坐标为（7，1）；

（2）把（2，3）绕点（t，0）旋转180°得到点的坐标为（2t﹣2，﹣3）；

故答案为（6，1），（7，1）；2t﹣2；

（3）设P（m，2m+6），Q（n，2n﹣8），

∵P点和Q点关于T（t，0）对称，

∴＝0，＝t，

∴m+n＝1，t＝，

∴T（，0）；

（4）把（2，2）代入y＝﹣x2+k得﹣4+k＝2，

解得k＝6，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6，

∵点Q为点P的“发展点”，

∴点T为PQ的中点，

∵△PMQ是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，

∴MT垂直平分PQ，

∴△PTM为等腰直角三角形，

当0＜t≤2时，

把P点绕T点顺时针旋转90°得到点M，

则M（t+2，t﹣2），

把M（t+2，t﹣2）代入y＝﹣x2+6得﹣（t+2）2+6＝t﹣2，

解得t1＝，t2＝（舍去），

当t＞2时，

把P点绕T点逆时针旋转90°得到点M，

则M（t﹣2，2﹣t），

把M（t﹣2，2﹣t）代入y＝﹣x2+6得﹣（t﹣2）2+6＝2﹣t，

解得t1＝5，t2＝0（舍去），

综上所述，t的值为或5．