Question

【题目】在平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连接CE，交对角线BD于点F，过点A作AB的垂线交BD的延长线于点G，过B作BH垂直于CE，垂足为点H，交CD于点P，2∠1+∠2＝90°．

（1）若PH＝2，BH＝4，求PC的长；

（2）若BC＝FC，求证：GF＝PC．

Answer 1

【答案】(1)2;(2)见解析.

【解析】

（1）根据四边形ABCD是平行四边形，先证∠BCP＝∠BPC，再根据勾股定理即可求出答案；

（2）由（1）得：BC＝BP＝AD，可知四边形ABPD是等腰梯形，从而证∠1＝∠GAD，然后证△DAG≌△FCD，作FM⊥CD于M，BN⊥CD于N，△CFM≌△BPN即可求出答案.

（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，AB＝CD，

∴∠BCH＝∠2，

∴∠BCP＝∠2+∠1，

∵2∠1+∠2＝90°．

∴∠BCP＝90°﹣∠1，

∵BH⊥CE，

∴∠BPC+∠1＝90°，

∴∠BPC＝90°﹣∠1，

∴∠BCP＝∠BPC，

∴BC＝BP＝BH+PH＝4+2＝6，

∴CH2＝BC2﹣BH2＝62﹣42＝20，

∴PC＝＝＝2；

（2）证明：由（1）得：BC＝BP＝AD，

∴四边形ABPD是等腰梯形，

∴∠DAB＝∠PBA，

∵CD∥AB，

∴∠PBA＝∠BPC，

∵BH⊥CE，

∴∠1＝90°﹣∠BPC＝90°﹣∠PBA＝90°﹣∠DAB＝∠GAD，

∵AD＝BC，BC＝FC，

∴AD＝FC，∠CBF＝∠CFB，

∵AD∥BC，

∴∠EDF＝∠CBF，

∴∠EDF＝∠CFB＝∠EFD，

∴∠ADG＝∠CFD，

在△DAG和△FCD中，，

∴△DAG≌△FCD（ASA），

∴AG＝CD＝AB，DG＝FD，

∵AG⊥AB，

∴△ABG是等腰直角三角形，

∴∠DBA＝∠G＝45°，

作FM⊥CD于M，BN⊥CD于N，如图所示：

∵AB∥CD，

∴∠CDF＝∠DBA＝45°，

∴△DMF是等腰直角三角形，

∴DM＝FM，DF＝FM，

∵BN⊥CD，BH⊥CE，

∴由三角形内角和定理得：∠1＝∠PBN，

在△CFM和△BPN中，，

∴△CFM≌△BPN（AAS），

∴FM＝PN，

∵BC＝BP，BN⊥CD，

∴PN＝CN，

∴PC＝2PN＝2FM＝DF，

∴PC＝2DF，

∴GF＝2DF＝PC