Question

【题目】、为的切线，切点分别为点、，延长交于点，交的延长线于点，连接、，与交于点．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，点是弧的中点，连接交AD于点，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下：连接并延长交于点，连接交于点，若，，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

(1)由切线长定理可得CA=CB，∠ACO=∠BCO=∠ACB，∠CAO=90°，由等腰三角形的性质和余角的性质可得结论；
(2)由等弧所对的圆周角相等可得∠ABP=∠DBP，由余角的性质和外角的性质可得∠EBF=∠BFE，可得BE=FE；
(3)如图3，连接BD，由全等三角形的性质和平行线分线段成比例可求BE=4，BC=AD=6=AC，OF=1，FD=2，AO=DO=3，以点A为原点，AE为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，分别求出直线FM，PH解析式，可求点H，点N的坐标，即可求解．

(1)∵CA、CB为⊙O的切线，切点分别为A、B，
∴CA=CB，∠ACO=∠BCO=∠ACB，∠CAO=90°，CO⊥AB，
∴∠CAM+∠ACM=90°，且∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ACM，
∴∠BAO=∠ACB；
(2)连接BD，BO，

∵点P是弧AD的中点，
∴= ，
∴∠ABP=∠DBP，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵CE是⊙O切线，
∴∠OBE=90°，
∵AD是直径，
∴∠ABD=90°=∠OBE，
∴∠ABO=∠DBE=∠OAB，
∵∠EBF=∠PBD+∠DBE，∠BFE=∠OAB+∠ABF，
∴∠EBF=∠BFE，
∴BE=FE；
(3)如图3，连接BD，

∵DF=2OF，
∴AO=DO=3OF，
∴AF=4OF，
∵∠ABP=∠PBD，
∴，
设BD=，则AB=，
∵OC⊥AB，
∴AM=BM=AB==BD，
∵AO=DO，AM=BM，
∴OM=BD=，BD∥MO，
∴∠BCO=∠DBE=∠OAB，且BM=BD，∠CMB=∠ABD=90°，
∴△CMB≌△ABD(AAS)，
∴CM=AB=2，BC=AD，
∴CO=CM+OM=，
∵BD∥CO，
∴，
∴，

∴BE=4，
∴BC=CE-BE=6

∴BC=AD=6=AC，
∴AO=DO=3，OF=1，FD=2，
如图，以点A为原点，AE为轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，

∴点A(0，0)，点O(3，0)点C(0，6)，点F(4，0)，

∵⊙O半径AO=DO=3，且=，

∴点P的坐标为(3，-3)，

∵CO=CM+OM=，OM=，CM=2，
∴，，

∴，，
∴点M的坐标为(，)，

设直线FM的解析式为，

∴，

解得：，
∴直线FM的解析式为：，
∴点H坐标为(0，3)，
设直线PH解析式为，

∴，

解得：，

∴直线PH解析式为：，
∴点N的坐标为(，0)
∴AH=3，AN=，
∴．