[题目]综合与探究如图.抛物线与轴交于两点.与轴交于点．点是射线上一点.过点作直线.与轴右侧的抛物线交于点．点从点出发.沿射线以每秒1个单位长度的速度向右运动.设点运动的时间为t秒．请解答下列问题:(1)求直线AC的表达式与点的坐标,(2)在点运动的过程中.若以点...为顶点的四边形是平行四边形.求运动的时间,(3)设点与点关于直线对称.①点的坐标为 (用含的代数式� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】综合与探究

如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．点是射线上一点，过点作直线，与轴右侧的抛物线交于点．点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度向右运动，设点运动的时间为t秒．请解答下列问题：

(1)求直线AC的表达式与点的坐标；

(2)在点运动的过程中，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求运动的时间；

(3)设点与点关于直线对称，

①点的坐标为 (用含的代数式表示，结果需化简)；

②当点落在抛物线的对称轴上且点在线段上时，在平面内是否存在点F，使得以点，，，F为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出此时点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)，C (0，2)； (2) 点C的坐标为(0，2) ；(3) ①(，)或(，)；②(，)

【解析】

(1)先求得点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求解；

(2)分类讨论，当Q在轴上方或下方时，利用,求得QD的长即可求解；

(3)①分类讨论，当P在点B的左侧或右侧时，利用,即可求解；

②先求得点的坐标，再求得t的值，利用菱形的性质即可求解．

(1)令，则，

解得：，

∴点A、B的坐标分别为(-1，0)、(5，0)，

令，则，

∴点C的坐标为(0，2)，

设直线AC的解析式为，

将点A的坐标(-1，0)代入得，

解得：，

∴直线AC的解析式为；

(2)如图，当Q在轴上方时，作QD⊥AB于D，

∵ACQP为平行四边形，

∴CQ∥AP，

∴CO=QD=2，

∴点Q的纵坐标为2，

∴，

解得：，

∴点Q的坐标为，

∴AP=CQ=4，

∴运动的时间为4秒时，ACQP为平行四边形；

如图，当Q在轴下方时，作QD⊥AB于D，

∵ACPQ为平行四边形，

∴PQ=AC，PQ∥AC，

∴∠CAO=∠QPD，

∴,

∴CO=QD=2，PD=AO=1，

∴点Q的纵坐标为-2，

∴，

解得：(不合题意，舍去)，

∴点Q的坐标为，

∴OD=，

∴，

∴运动的时间为秒时，ACPQ为平行四边形；

综上，当运动的时间为或秒时，A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形；

(3)①连接PD，过D作DE⊥AB于E，BD交PQ于G，

∵点A、C的坐标分别为(-1，0)、(0，2)，

∴AO=1，CO=2，

∴，

∵BD关于直线对称，AP=t，

∴BP=PD=AB-AP=6-t，PQ⊥BD，BG=DG，

∵PQ∥AC，

∴∠CAO=∠BPG，

∴

∴，即，

∴，则，

∵

∴∠ACO=∠PBG，

∴

∴，即，

∴，，

∴，

∴点的坐标为(，)，

当P在点B的右侧时，如图，

同理可得，，

∴，

此时，点的坐标为(，)，

综上，点的坐标为(，)或(，)；

②存在，理由如下：

由①知PQ⊥BD，BG=DG，

∵四边形BPDF为菱形，

∴DF=BP，DF∥BP，

抛物线的对称轴为，

∵点在对称轴上，且点在线段上，如图：

∴，

解得：，

∴，

∴点的坐标为(，)，，

∴点F的坐标为(，)，即(，)．

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