Question

【题目】如图在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q．

（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；
（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1中，连接QP．

在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，

∴AB= =5，

∵AP=4t，AQ=5t，

∴ = = ，∵∠PAQ=∠BAO，

∴△PAQ∽△BAO，

∴∠APQ=∠AOB=90°，

∴QP⊥AB，

∴AB是⊙O的切线

（2）

解：①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．

易知PQ=DQ=3t，CQ= 3t= ，

∵OC+CQ+AQ=4，

∴m+ t+5t=4，

∴m=4﹣ t．

②如图3中，当直线CM在⊙O的右侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．

∵OC+AQ﹣CQ=4，

∴m+5t﹣ t=4，

∴m=4﹣ t

（3）

解：存在．理由如下：

如图4中，当⊙Q在y则的右侧与y轴相切时，3t+5t=4，t= ，

由（2）可知，m=﹣ 或 ．

如图5中，当⊙Q在y则的左侧与y轴相切时，5t﹣3t=4，t=2，

由（2）可知，m=﹣ 或 ．

综上所述，满足条件的点C的坐标为（﹣ ，0）或（ ，0）或（﹣ ，0）或（ ，0）

【解析】（1）只要证明△PAQ∽△BAO，即可推出∠APQ=∠OB=90°，推出QP⊥AB，推出AB是⊙O的切线；（2）分两种情形求解即可：①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．②如图3中，当直线CM在⊙O的右侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．分别列出方程即可解决问题．（3）分两种情形讨论即可，一共有四个点满足条件．
【考点精析】关于本题考查的直线与圆的三种位置关系和切线的性质定理，需要了解直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能得出正确答案．