Question

【题目】如图，在ABCD中，∠ABD=90°，AD= 5，BD=3，点P从点A出发，沿折线AB- BC以每秒个单位长度的速度向终点C运动(点P不与点A、B、C重合)．在点P运动的过程中，过点P作AB所在直线的垂线．交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且QM=2．MN与BD在PQ的同侧，设点P的运动时间为t(秒)，

(1)当t= 5时，求线段CP的长；

(2)求线段PQ的长(用含t的代数式表示)；

(3)当点M落在BD上时，求t的值；

(4)当矩形PQMN与ABCD重叠部分圆形为五边形时，直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）当时，；当时，；（3）2或；（4），

【解析】

（1）如图1中，利用勾股定理求出AB的长，t＝5时，点P在线段BC上，易知PB＝1，PC＝4；

（2）分两种情形求解即可①如图2中，当0＜t＜4时，②如图3中，当5＜t＜10时；

（3）分两种情形求解即可①如图4中，当点P在线段AB上时，点M在线段BD上，求出AP．②如图5中，当点P在线段BC上，点M与D重合时；

（4）分两种情形分别求解即可①如图6中，当点P在线段AB上，重叠部分是五边形PBKMQ时，2＜t＜4．②如图7中，当点P在线段BC上，重叠部分是五边形PQDKN时，4＜t＜6.5；

（1）如图1中，

在Rt△ABD中，∵∠ABD＝90，AD＝5，BD＝3，

∴AB＝＝4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝4，

当t＝5时，点P在BC上，PB＝1，

∴PC＝4．

（2）①如图2中，当0＜t＜4时，

∵PQ∥BD，

∴，

∴，

∴PQ＝t．

②如图3中，当5＜t＜10时，

∵PQ∥BD，

∴，

∴，

∴PQ＝（9t）．

∴当时，；当时，；

（3）①如图4中，当点P在线段AB上时，点M在线段BD上，

∵QM∥AB，

∴，

∴，

∴DQ＝，

∴AQ＝DQ，

∵PQ∥BD，

∴AP＝PB＝2，

∴t＝2．

②如图5中，当点P在线段BC上，点M与D重合时，

∵QM=2，∴CQ=CD- QM=2,

∴Q点是CD中点，

故PQ是△BCD是中位线

故PB＝PC＝BC=，

此时t＝4＋＝．

∴当点M落在BD上时，求t的值为2或；

（4）①如图6中，重叠部分是五边形PBKMQ

由图4可知，当P点为AB中点时，t=2

当P点与B点重合时，t=4

故当点P在线段AB上，重叠部分是五边形PBKMQ时，2＜t＜4；

②如图7中，重叠部分是五边形PQDKN，

由图5可知，当P点为BC中点时，t=,

当P点与B点重合时，t=4,

当点P在线段BC上，重叠部分是五边形PQDKN时，4＜t＜6.5．

∴当矩形POMN与ABCD重叠部分圆形为五边形时， t的取值范围是2＜t＜4或4＜t＜6.5．