Question

【题目】如图，直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+4的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，3），过动点M（n，0）作x轴的垂线与直线l1和l2分别交于P、Q两点．

（1）求m的值及l2的函数表达式；

（2）当PQ≤4时，求n的取值范围；

（3）是否存在点P，使S△OPC＝2S△OBC？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=2，l2的解析式为y＝x；（2）0≤n≤4；（3）存在，点P的坐标(6，1)或(-2，5)．

【解析】

（1）根据待定系数法，即可求解；

（2）由l2与l1的函数解析式，可设P(n，﹣n+4)，Q(n，n)，结合PQ≤4，列出关于n的不等式，进而即可求解；

（3）设P(n，﹣n+4)，分两种情况：①当点P在第一象限时，②当点P在第二象限时，分别列关于n的一元一次方程，即可求解．

（1）把C(m，3)代入一次函数y＝﹣x+4，可得：3＝﹣m+4，解得：m＝2，

∴C(2，3)，

设l2的解析式为y＝ax，则3＝2a，解得a＝，

∴l2的解析式为：y＝x；

（2）∵PQ∥y轴，点M(n，0)，

∴P(n，﹣n+4)，Q(n，n)，

∵PQ≤4，

∴|n+n﹣4|≤4，解得：0≤n≤4，

∴n的取值范围为：0≤n≤4；

（3）存在，理由如下：

设P(n，﹣n+4)，

∵S△OBC=×4×2=4，S△OPC＝2S△OBC，

∴S△OPC=8，

①当点P在第一象限时，

∴S△OBP=4+8=12，

∴×4n＝12，

解得：n＝6，

∴点P的坐标(6，1)，

②当点P在第二象限时，

∴S△OBP=8-4=4，

∴×4(-n)＝4，解得：n＝-2，

∴点P的坐标(-2，5)．

综上所述：点P的坐标(6，1)或(-2，5)．