Question

5．如图，在五边形ABCDE中，已知∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=2，AE=DE=4，在BC、DE上分别找一点M、N，若要使△AMN的周长最小时，则△AMN的最小周长为4$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出最短路线，再利用勾股定理，求出即可．

解答 解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
作EA延长线的垂线，垂足为H，
∵AB=BC=2，AE=DE=4，
∴AA′=2BA=4，AA″=2AE=8，
则Rt△A′HA中，∵∠EAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
∵A′H⊥HA，
∴∠AA′H=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AA′=2，
∴A′H=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=2\sqrt{3}$，
A″H=2+8=10，
∴A′A″=$\sqrt{A'{H}^{2}+A''{H}^{2}}=4\sqrt{7}$．
故答案为：$4\sqrt{7}$．

点评 此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及勾股定理的应用，根据已知得出M，N的位置是解题关键．