Question

10．正方形ABCD中，M为AB的中点，E为AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于点N．
（1）试判断线段MD与MN的关系并说明理由．
（2）若点M在AB的延长线上，其余条件不变，上述结论还成立吗？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点H，连接HM，则BM=HD，由已知可推出∠DHM=∠MBN，∠BMN=∠HDM，从而利用ASA判定△DHM≌△MBN，从而得到DM=MN；
（2）如图2，若点M在AB的延长线上，则在AD延长线上取点H，使DH=BM，连接HM，根据余角的性质得到∠NME=∠ADM，于是得到∠MDH=∠NMB（等角的邻补角相等），由角平分线的定义得到∠NBM=45°，推出△AMH为等腰直角三角形，得到∠MHD=45°，证得△DHM≌△MBN（ASA），根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）如图1，取AD的中点H，连接HM，
∵四边形ABCD是正方形，M为AB的中点，
∴BM=HD=AM=AH，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴∠DHM=135°，
而BN是∠CBE的平分线．
∴∠MBN=135°，
∴∠DHM=∠MBN，
又∵DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD=90°，
又∵∠HDM+∠AMD=90°，
∴∠BMN=∠HDM，
在△DHM与△MBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HDM=∠BMN}\\{DH=MB}\\{∠DHM=∠MBN}\end{array}\right.$，
∴△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM=MN；

（2）如图2，若点M在AB的延长线上，
则在AD延长线上取点H，使DH=BM，连接HM，
∵DM⊥MN，即∠DMN=90°，
∴∠DMA+∠NME=90°，
又∵∠DMA+∠ADM=90°，
∴∠NME=∠ADM，
∴∠MDH=∠NMB（等角的邻补角相等），
又∵BN为∠CBE的平分线，且∠CBE=90°，
∴∠NBM=45°，
∵AD=AB，DH=BM，
∴AD+DH=AB+BM，即AH=AM，且∠A=90°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴∠MHD=45°，
∴∠MHD=∠NBM，
在△DHM与△MBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MHD=∠NBM}\\{DH=BM}\\{∠MDH=∠NMB}\end{array}\right.$，
∴△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM=MN．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正方形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．