Question

5．已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点D为顶点且△ABC的是直角三角形，A点坐标为（-4，0），C点的坐标为（0，-2），直线y=kx+b经过A、C两点．
（1）求抛物线和直线的函数解析式；
（2）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC的是直角三角形，A点坐标为（-4，0），C点的坐标为（0，-2），可以求得OA、OC、AC的长，根据△AOC∽△ACB，可以求得AB的长，从而可以求得点B的坐标，由抛物线过点A、B、C三点可以求得抛物线的解析式；根据直线过点A、C可以求得直线的解析式．
（2）由图可得，四边形ABCD的面积可以转变为求△ABC和△ACD的面积之和，根据前面的条件可以求得这两个三角形的面积，从而可以解答本题．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点D为顶点且△ABC的是直角三角形，A点坐标为（-4，0），C点的坐标为（0，-2），
∴OA=4，OC=2，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{20}$=$2\sqrt{5}$，∠OAC=∠CAB，∠AOC=∠ACB，
∴△AOC∽△ACB，
∴$\frac{OA}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
即$\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{AB}$，
解得，AB=5，
∵点A的坐标为（-4，0），
∴点B的坐标为（1，0），
∵点A（-4，0），B（1，0），C（0，-2）在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$
解得，a=0.5，b=1.5，c=-2，
即抛物线的函数解析式是：y=0.5x²+1.5x-2；
∵直线y=kx+b经过A（-4，0），C（0，-2）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$
解得，k=-0.5，b=-2，
即直线的函数解析式为：y=-0.5x-2．
由上可得，抛物线的函数解析式是：y=0.5x²+1.5x-2，直线的函数解析式为：y=-0.5x-2．
（2）∵y=0.5x²+1.5x-2=$0.5（x+\frac{3}{2}）^{2}-\frac{25}{8}$，
∴点D的坐标为（-$\frac{3}{2}，-\frac{25}{8}$），
∴点D到直线AC的距离为：$\frac{|-0.5×（-\frac{3}{2}）-（-\frac{25}{8}）-2|}{\sqrt{（-0.5）^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{5×2}{2}+\frac{2\sqrt{5}×\frac{3\sqrt{5}}{4}}{2}=\frac{35}{4}$，
即四边形ABCD的面积是$\frac{35}{4}$．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据已知条件可以找到求函数解析式需要的条件，利用数学中转化的思想将四边形的面积转化为求两个三角形的面积之和．