Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，OA=6，以OA为直径作⊙M，点C在⊙M上，∠AOC=45°，四边形ABCO为平行四边形．
（1）求证：BC为⊙M的切线．
（2）求点B的坐标．
（3）若D点坐标为（4，-3），求∠OCD的正弦值．

Answer 1

（1）证明：
连接CM，
∵OM=CM，∠AOC=45°，
∴∠AOC=∠OCM=45°，
∴∠CMA=45°+45°=90°，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC∥OA，
∴∠BCM=180°-90°=90°，
∴MC⊥BC，
∵MC是半径，
∴BC是⊙M的切线．

（2）解：∵OA=6，
∴OM=3，
∴OM=MC=3，
∴B的横坐标是3+6=9，
即B的坐标是（9，3）．

（3）解：
连接AD，过D作DN⊥OA于N，
∵D（4，-3），
∴ON=4，DN=3，
∴DO=5，
∵OA=6，
由圆周角定理得：∠OAD=∠OCD，
即sin∠OCD=sin∠OAD==．
分析：（1）连接CM，求出∠OCM=∠COA=45°，求出∠CMA=90°，根据平行是内心性质求出∠BCM=∠CMA即可；
（2）求出OM和CM值，即可求出B的坐标；
（3）连接AD，过D作DN⊥OA于N，根据D的坐标求出DO的值，得出∠OAD=∠OCD，在Rt△AND中，根据解直角三角形求出即可．
点评：本题考查了平行四边形性质，解直角三角形，切线的判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，综合性比较强．