Question

2．在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线DE，分别交AB、BC于D、E．
（1）若∠CAE=∠B+30°，求∠B的度数；
（2）若∠B=15°，AC=a，AB=b，求DE的长（用含a、b的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）由DE是斜边AB的垂直平分线，可得AE=BE，即可证得∠BAE=∠B，然后由∠CAE=∠B+30°，可得∠B+∠B+∠B+30°=90°，继而求得答案；
（2）由∠B=15°，可求得∠AEC的度数，继而可求得AE的长，然后由勾股定理求得DE的长．

解答 解：（1）∵DE是斜边AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
∵∠CAE=∠B+30°，∠C=90°，
∴∠B+∠BAE+∠CAE=90°，
∴∠B+∠B+∠B+30°=90°，
解得：∠B=20°；

（2）∵∠B=15°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B=30°，
∵∠C=90°，AC=a，
∴AE=2AC=2a，
∵DE是斜边AB的垂直平分线，AB=b，
∴∠ADE=90°，AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$b，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{4{a}^{2}-\frac{1}{4}{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{16{a}^{2}-{b}^{2}}}{2}$．

点评 此题考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．