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【题目】已知关于x的一元二次方程x2+(k﹣5)x+1﹣k=0(其中k为常数).

(1)求证无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;

(2)已知函数y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的图象不经过第三象限,求k的取值范围;

(3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值.

【答案】(1)证明见解析;(2)k≤1;(3)2.

【解析】试题分析:(1)求出方程的判别式的值,利用配方法得出0,根据判别式的意义即可证明;

2)由于二次函数y=x2+k﹣5x+1﹣k的图象不经过第三象限,又△=k﹣52﹣41﹣k=k﹣32+120,所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限,根据二次项系数知道抛物线开口向上,由此可以得出关于k的不等式组,解不等式组即可求解;

3)设方程的两个根分别是x1x2,根据题意得(x1﹣3)(x2﹣3)<0,根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围,再进一步求出k的最大整数值.

试题解析:(1∵△=k﹣52﹣41﹣k=k2﹣6k+21=k﹣32+120

无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;

2二次函数y=x2+k﹣5x+1﹣k的图象不经过第三象限,

二次项系数a=1

抛物线开口方向向上,

∵△=k﹣32+120

抛物线与x轴有两个交点,

设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1x2

∴x1+x2=5﹣k0x1x2=1﹣k0

解得k1

k的取值范围是k1

3)设方程的两个根分别是x1x2

根据题意,得(x1﹣3)(x2﹣3)<0

x1x2﹣3x1+x2+90

x1+x2=5﹣kx1x2=1﹣k

代入得,1﹣k﹣35﹣k+90

解得k

k的最大整数值为2

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