Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，D为BC边的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，CF平分∠ACB交AD于点F，连接CE.求证：(1)点D是EF的中点；(2)△CEF是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）根据题意已知条件证明△CDF≌△BDE即可求解；

（2）先证明△ACF≌△CBE 得到∠CAF=∠BCE ，从而得到∠ECF=∠CFE，即可求解.

（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC

∴∠CAB=∠CBA=45°

∵BE⊥AB

∴∠ABE=90°

∴∠DBE=90°-45°=45°

∵CF 平分∠ACB

∴∠FCD=∠FCA=90°×°

∴∠DBE=∠FCD

又∵D 为 BC 边的中点，

∴CD=BD

在△ CDF 与△BDE 中，

∴△CDF≌△BDE（ASA）

∴DF＝DE

即点D是EF 的中点.

（2）∵∠ACF=45°，∠CBE=45°

∴∠ACF=∠CBE

又∵AC=BC，CF=BE

∴△ ACF≌△CBE（SAS）

∴∠CAF=∠BCE

∵∠ECF=45°+∠BCE ，∠CFE=∠ACF+∠CAF=45°+∠CAF

∴∠ECF=∠CFE

∴CE=FE

即△CEF是等腰三角形.