Question

【题目】如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点H为BD中点，CH的延长线交AB于点F．

（1）求证：CH＝EH；

（2）若∠CAB＝40°，求∠EHF；

（3）如图②，若△DAE≌△CEH，点Q为CH的中点，连接AQ，求证：AQ∥EH．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠EHF＝80°；（3）见解析

【解析】

（1）根据直角三角形斜边中线的性质证明即可．

（2）先根据等腰三角形的性质得：∠HCB＝∠HBC，∠HEB＝∠HBE，由三角形外角的性质得：∠DHC＝2∠HBC，∠DHE＝2∠HBE，从而有∠CHE＝2∠CBA，计算∠CBA＝50°，根据平角的定义可得结论；

（3）如图②，连接AH，先证明AE＝ED＝EH＝DH＝CH，得△DEH是等边三角形，所以∠DHC＝30°，∠AEH＝150°，再证明AC＝AH，根据等腰三角形三线合一可得AQ⊥CH，最后根据同位角相等，两直线平行可得结论．

（1）证明：如图①，∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，

在Rt△DEB和Rt△DCB中，∠DEB＝∠DCB＝90°，H为BD的中点，

∴EH＝BD，CH＝BD，

∴EH＝CH；

（2）解：∵H为BD的中点，

∴BH＝BD，

∴BH＝EH＝CH，

∴∠HCB＝∠HBC，∠HEB＝∠HBE，

在△CHB和△EHB中，

∠DHC＝∠HCB+∠HBC，∠DHE＝∠HEB+∠HBE，

∴∠DHC＝2∠HBC，∠DHE＝2∠HBE，

∴∠CHE＝2∠CBA，

在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，

∴∠A+∠CBA＝90°，

∵∠A＝40°，

∴∠CBA＝50°，

∴∠CHE＝100°，

∴∠EHF＝80°；

（3）证明：如图②，连接AH，

∵△DAE≌△CEH，

∴AE＝EH，∠AED＝∠EHC＝90°，

∵HC＝HE，DH＝BD，

∴AE＝ED＝EH＝DH＝CH，

∴△DEH是等边三角形，

∴∠DEH＝∠DHE＝60°，

∴∠DHC＝∠EHC﹣∠EHD＝30°，∠AEH＝∠AED+∠DEH＝150°，

∵AE＝EH，DH＝CH，

∴∠EHA＝（180°﹣∠AEH）÷2＝15°，

∠HCD＝（180°﹣∠DHC）÷2＝75°，

∴∠AHC＝∠EHC﹣∠EHA＝75°，

∴∠AHC＝∠ACH＝75°，

∴AC＝AH，

∵Q是CH的中点，

∴AQ⊥CH，

∴∠AQC＝90°，

∴∠AQC＝∠EHC，

∴AQ∥EH．