Question

17．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是5：4．

Answer 1

分析 先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．

解答 解：如图1，连接OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，
∵∠AOB=45°，
∴OB=AB=1，
由勾股定理得：OD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴扇形的面积是$\frac{45π×（\sqrt{5}）^{2}}{360}$=$\frac{5}{8}$π；
如图2，连接MB、MC，
∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，
∴∠BMC=90°，MB=MC，
∴∠MCB=∠MBC=45°，
∵BC=1，
∴MC=MB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴⊙M的面积是π×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{1}{2}$π，
∴扇形和圆形纸板的面积比是$\frac{5}{8}$π÷（$\frac{1}{2}$π）=$\frac{5}{4}$．
故答案为：5：4．

点评 本题考查了正方形性质，圆内接四边形性质，扇形的面积公式的应用，解此题的关键是求出扇形和圆的面积，题目比较好，难度适中．