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【题目】如图,抛物线y=﹣ x2+bx+c与一次函数y=﹣x+4分别交y轴、x轴于A、B两点.

(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设P(x,y)是抛物线在第一象限内的一个动点,过点P作直线PH⊥x轴于点H,交直线AB于点M.
①求当x取何值时,PM有最大值?最大值是多少?
②当PM取最大值时,以A、P、M、N为顶点构造平行四边形,求第四个顶点N的坐标.

【答案】
(1)

解:∵一次函数y=﹣x+4分别交y轴、x轴于A、B两点,

∴A(0,4),B(4,0),

把A(0,4),B(4,0)代入y=﹣ x2+bx+c可得

解得

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+x+4


(2)

解:①如图1中,设P(x,﹣ x2+x+4),则M(x,﹣x+4).

∴PM=﹣ x2+m+4﹣(﹣x+4)=﹣ x2+2x=﹣ (x﹣2)2+2,

∵﹣ <0,

∴x=2时,pM的值最大,最大值为2.

②由①可知P(2,4),M(2,2),

当以A、P、M、N为顶点的四边形为平行四边形时,N1(0,6),N2(4,2),N3(0,2).


【解析】(1)由直线解析式可求得A、B的坐标,再利用待定系数法可求得抛物线的解析式;(2)①可利用x表示出点M的坐标,构建二次函数即可解决问题.②画出图形,满足条件的点N有三个.
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.

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A.
B.
C.
D.

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A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②④

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