【题目】如图,抛物线y=﹣ x2+bx+c与一次函数y=﹣x+4分别交y轴、x轴于A、B两点.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设P(x,y)是抛物线在第一象限内的一个动点,过点P作直线PH⊥x轴于点H,交直线AB于点M.
①求当x取何值时,PM有最大值?最大值是多少?
②当PM取最大值时,以A、P、M、N为顶点构造平行四边形,求第四个顶点N的坐标.
【答案】
(1)
解:∵一次函数y=﹣x+4分别交y轴、x轴于A、B两点,
∴A(0,4),B(4,0),
把A(0,4),B(4,0)代入y=﹣ x2+bx+c可得 ,
解得 ,
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+x+4
(2)
解:①如图1中,设P(x,﹣ x2+x+4),则M(x,﹣x+4).
∴PM=﹣ x2+m+4﹣(﹣x+4)=﹣ x2+2x=﹣ (x﹣2)2+2,
∵﹣ <0,
∴x=2时,pM的值最大,最大值为2.
②由①可知P(2,4),M(2,2),
当以A、P、M、N为顶点的四边形为平行四边形时,N1(0,6),N2(4,2),N3(0,2).
【解析】(1)由直线解析式可求得A、B的坐标,再利用待定系数法可求得抛物线的解析式;(2)①可利用x表示出点M的坐标,构建二次函数即可解决问题.②画出图形,满足条件的点N有三个.
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,动点P从点A出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】问题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,试判断BE、EF、FD之间的数量关系.
(1)【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图1证明上述结论.
(2)【类比引申】
如图2,四边形ABCD中∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时,仍有EF=BE+FD
(3)【探究应用】如图3,在某公园的同一水平面上,四条通道围成的ABCD,已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分别有景点E、F,且AE⊥AD,DF=40( ,米,现要在E、F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长(结果取整数,参考数据: =1.41, =1.73).
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【题目】如图,已知△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,直角∠DFE的顶点F是AB中点,两边FD,FE分别交AC,BC于点D,E两点,当∠DFE在△ABC内绕顶点F旋转时(点D不与A,C重合),给出以下个结论:①CD=BE ②四边形CDFE不可能是正方形 ③△DFE是等腰直角三角形 ④S四边形CDFE= S△ABC , 上述结论中始终正确的有( )
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②④
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【题目】不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色不同外,其它都一样),其中红球2个,蓝球1个,现在从中任意摸出一个红球的概率为 .
(1)求袋中黄球的个数;
(2)第一次摸出一个球(不放回),第二次再摸出一个球,请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率.
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【题目】将函数y=2x+b(b为常数)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后,所得的折线是函数y=|2x+b|(b为常数)的图象.若该图象在直线y=2下方的点的横坐标x满足0<x<3,则b的取值范围为 .
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【题目】如图1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2 ,AC,BD相交于点O.
(1)求边AB的长;
(2)如图2,将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板60°角的两边分别与边BC,CD相交于点E,F,连接EF与AC相交于点G. ①判断△AEF是哪一种特殊三角形,并说明理由;
②旋转过程中,当点E为边BC的四等分点时(BE>CE),求CG的长.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BCD,AC⊥AB,E是BC的中点,AD⊥AE.
(1)求证:AC2=CDBC;
(2)过E作EG⊥AB,并延长EG至点K,使EK=EB.
①若点H是点D关于AC的对称点,点F为AC的中点,求证:FH⊥GH;
②若∠B=30°,求证:四边形AKEC是菱形.
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