Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE切⊙O于D，交AC于E．
（1）设∠ABC=α，已知关于x的方程2x²-10xcosα+25cosα-12=0有两个相等的实数根，BC=8，求AB的长．
（2）若点C是以A为圆心，以AB为半径的半圆BCF（点B、F除外）上的一个动点，设BC=t，CE=y，利用（1）所求得的AB的长，求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
（3）在（2）的基础上，当t为何值时，S_△ABC=

25

4

3

．

Answer 1

分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质AD垂直平分BC，所以BD=DC=4，再根据方程有两个相等实数根，判别式△=0求出cosα=

4

5

，结合∠α的三角函数即可求出AB的长；
（2）再连接OD，根据三角形的中位线定理和切线的性质可以得到∠DEC=90°，在Rt△CDE中，利用∠ACB=∠ABC=α的余弦列出算式并整理即可得到y与t之间的函数关系式；
（3）根据等腰三角形的性质和勾股定理求出底边BC上的高AD，代入面积公式即可得到一关于t的方程，解方程即可．

解答：解：（1）连接AD，
∵关于x的方程2x²-10xcosα+25cosα-12=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（-10cosα）²-8（25cosα-12）=0，
整理，得100cos2α-200cosα+96=0，
解这个关于cosα的方程，得
cosα=

4

5

或cosα=

6

5

（舍）
∴cosα=

4

5

（2分）
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90°，
又AB=AC，BC=8
∴BD=DC=4
在Rt△ABD中，cosα=

BD

AB

∴AB=

BD

cosα

=

4

4 5

=5；（3分）

（2）连接0D，∵DE切⊙O于D，
∴∠ODE=90°，
又OA=OB，DB=DC，
∴OD∥AC，∴∠DEC=90°，（4分）
又∠DEC=∠ADC，∠C=∠C，
∴△DEC∽△ADC，
∴

CD

CA

=

CE

CD

，（5分）
又BC=t，DB=DC，
∴CD=

1

2

t，
又CE=y，CA=AB=5，
∴

CE

CD

=

CD

AC

，即

y

1 2 t

=

1 2 t

5

，
整理得y=

1

20

t²变量t的取值范围是0＜t＜10．（7分）

（3）∵S_△ABC=

25

4

3

，
∴

1

2

BC•AD=

25

4

3

，
在Rt△ABD中，BD=

1

2

t，AB=5，
由勾股定理得，AD=

AB2-BD2

=

1

2

100-t2

，（8分）
∴

1

2

×t×

1

2

100-t2

=

25

4

3

，
即t•

100-t2

=25

3

，
两边平方，并整理，
得t⁴-100t²+1875=0，
设t²=u，则原方程可化为u²-100u+1875=0，
解之，得u₁=25，u₂=75，
即t²=25，或t²=75，
t=±5或t=±5

3

，
经检验，t=5或t=5

3

符合题意，
即当t=5或t=5

3

时，S_△ABC=

25

4

3

．（10分）

点评：本题考查：（1）一元二次方程有两个相等的实数根的条件是判别式△=b²-4ac=0，等腰三角形三线合一的性质和直径所对的圆周角等于90°；
（2）过切点和半径垂直于切线、三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质；
（3）勾股定理和解一元二次方程，需要注意所求方程的解一定要符合实际意义，因为是三角形的边，负值一定要舍去．