Question

如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，设∠A=x°，则∠FPC=（　　）

• A、（

  2x

  5

  ）°
• B、（

  3x

  4

  ）°
• C、（

  x

  3

  ）°
• D、（

  x

  2

  ）°

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：延长PF交AB的延长线于H，利用“角边角”求出△PCF和△HBF全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=HF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出EF=PF=

1

2

PH，根据等边对等角可得∠PEF=∠EPF，从而得到∠FPC=∠BEF，再根据菱形的性质求出BE=BF，根据等边对等角可得∠BEF=∠BFE，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．

解答：解：如图，延长PF交AB的延长线于H，
在菱形ABCD中，AB∥CD，
所以，∠C=∠HBF，
∵F是BC的中点，
∴BF=CF，
在△PCF和△HBF中，

∠C=∠HBF BF=CF ∠PFC=∠HFB

，
∴△PCF≌△HBF（ASA），
∴PF=HF，
∵EP⊥CD，AB∥CD，
∴EP⊥AB，
∴PF=

1

2

PH，
∴∠PEF=∠EPF，
∴∠FPC=∠BEF，
∵E，F分别是边AB和BC的中点，
∴BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE，
∵∠A=x°，
∴∠ABC=180°-x，
∴∠BEF=

1

2

[180°-（180°-x）]=（

1

2

x）°，
∴∠FPC=（

1

2

x）°，
故选D．

点评：本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．