Question

18．二次函数y=ax²+bx+c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C．
（Ⅰ）试求a，b所满足的关系式；
（Ⅱ）当△AMC的面积为△ABC面积的$\frac{5}{4}$倍时，求a的值；
（Ⅲ）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，0）和点B（0，1）的坐标代入抛物线的解析式，就可以得到关于a，b，c关系式．整理就得到a，b的关系．
（2）△ABC的面积可以求出是$\frac{1}{2}$，利用公式求出抛物线的顶点的纵坐标，进而表示出△AMC的面积，根据S_△AMC=$\frac{5}{4}$S_△ABC，就可以得到关于a的方程，解得a的值；
（3）本题应分A是直角顶点，B是直角顶点，C是直角顶点三种情况进行讨论．

解答 解：（1）将A（1，0），B（0，l）代入y=ax²+bx+c，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{c=1}\end{array}\right.$，
可得：a+b=-1

（2）∵a+b=-1，
∴b=-a-1代入函数的解析式得到：y=ax²-（a+1）x+1，
顶点M的纵坐标为$\frac{4a-（a+1）^{2}}{4a}$=-$\frac{（a-1）^{2}}{4a}$，
因为S_△AMC=$\frac{5}{4}$S_△ABC，
由同底可知：-$\frac{（a-1）^{2}}{4a}$=$\frac{5}{4}$×1，
整理得：a²+3a+1=0，
解得：a=$\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$，
由图象可知：a＜0，
因为抛物线过点（1，0），顶点M在第二象限，其对称轴x=$\frac{a+1}{2a}$，
∴-1＜a＜0，
∴a=$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$舍去，
从而a=$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$．

（3）①由图可知，A为直角顶点不可能；
②若C为直角顶点，此时C点与原点O重合，不合题意；
③若设B为直角顶点，则可知AC²=AB²+BC²，
令y=0，可得：0=ax²-（a+1）x+1，
解得：x₁=1，x₂=$\frac{1}{a}$，
得：AC=1-$\frac{1}{a}$，BC=$\sqrt{{1}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$，AB=$\sqrt{2}$．
则（1-$\frac{1}{a}$）²=（1+$\frac{1}{{a}^{2}}$）+2，
解得：a=-1，由-1＜a＜0，不合题意．
所以不存在．
综上所述：不存在．

点评 本题主要考查了二次函数综合以及三角形面积求法、勾股定理等知识，利用分类讨论以及数与形结合分析是解题的关键．