Question

6．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S_△PAB=10，并求出此时P点的坐标；
（3）设（1）中的抛物线交y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点得到关于b和c的二元一次方程组，解方程组求出b和c的值即可；
（2）设动点P的坐标为（m，m²-2m-3），根据面积公式求出m的值即可；
（3）设点C关于对称轴的对称点为C′，连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为满足题意的Q点．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=1-b+c}\\{0=9+3b+c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3；

（2）设动点P的坐标为（m，m²-2m-3），
若足S_△PAB=10，
则$\frac{1}{2}$AB×|m²-2m-3|=10，
即2|m²-2m-3|=10，
解得m=4或m=-2；
当m=4时，m²-2m-3=5，
当m=-2时，m²-2m-3=5，
综上P点的坐标为（-2，5）或（4，5）；

（3）设点C关于对称轴的对称点为C′，连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为满足题意的Q点；
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线对称轴为x=1，C′坐标为（2，-3），
设直线AC′的解析式为y=kx+b，
根据题意可得$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+b}\\{-3=2k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
所以直线AC′的解析式为y=-x-1，
当x=1时，y=-2，
即点Q的坐标为（1，-2）．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题，此题涉及到待定系数法求函数的解析式、三角形面积的求法、二次函数的性质、轴对称的性质等知识，解答（2）关键用m表示出动点P的坐标，解答（3）问的关键是找出点C关于对称轴的对称点为C′，此题难度不大．