Question

15．已知：如图，AB是△ABC的外接圆O的直径，D为⊙O上一点，且DE⊥CD，交BC于点E．求证：$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{ED}$．

Answer 1

分析 延长DE交⊙O于F，连接CF；由CD⊥DE，可知CF必为⊙O的直径．连接AF、BF，由于四边形ACBF的对角线相等且互相平分，因此四边形ACBF是矩形．可得AC=BF，∠EBF=90°；易证得△CED∽△FEB，可得出关于EB、CD、DE、BF的比例关系式，将AC=BF代入上式，可得出本题所证的结论．

解答 证明：延长DE，交⊙O于F；连接CF，AF、BF；
由于CD⊥DF，即∠CDF=90°，
因此CF必为⊙O的直径．
∵OA=OB=OC=OF，
∴四边形AFBC为矩形．
∴BF=AC，∠CBF=90°．
∴∠CDE=∠CBF=90°．
∵∠CED=∠FEB，
∴△CED∽△FEB，
∴EB：ED=BF：CD．
∴EB：ED=AC：CD，
∴$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{ED}$．

点评 本题综合考查了圆周角定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．