Question

3．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（-1，0），B（2，0），交y轴于C（0，-2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，请判断是否存在以P、Q、O、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在y轴右侧的点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，设出二次函数交点式解析式y=a（x+1）（x-2），然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；
（2）分两种情况：若OC为平行四边形的边；若OC为平行四边形的对角线，可求点Q的坐标；
（3）根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（-1，0），B（2，0），
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x-2），又二次函数y=ax²+bx+c的图象交y轴于C（0，-2），将x=0，y=-2代入，得-2=a（0+1）（0-2），
解得a=1．
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x-2），即y=x²-x-2；
（2）若OC为平行四边形的边，设P（p，p²-p-2），Q（p，p），
则PQ=|p²-2p-2|，P、Q、O、C为顶点的四边形为平行四边形，
则|p²-2p-2|=2，
解得p₁=0（舍去），p₂=2，${p_3}=1+\sqrt{5}$，${p_4}=1-\sqrt{5}$；
则Q₁（2，2），Q₂（ $1+\sqrt{5}$，$1+\sqrt{5}$），Q₃（$1-\sqrt{5}$，$1-\sqrt{5}$）；
若OC为平行四边形的对角线，则Q₄（-2，-2）．
（3）∵△CHM∽△AOC，点C与点A对应，∴∠MCH=∠CAO
情形1：如图1，当H在点C下方时，
∵∠MCH=∠CAO
∴CM∥x轴，
∴y_M=-2，点M在二次函数图象上，
∴x²-x-2=-2，
解得x=0（舍去）或x=1，
∴M（1，-2）；
情形2：如图，当H在点C上方时，
∵∠M′CH=∠CAO，
设CM′交x轴于点P，
设OP=x，则PC=PA=x+1，
在Rt△POC中，OP=x，PC=x+1，OC=2
由勾股定理，得x²+2²=（x+1）²，
解得$x=\frac{3}{2}$，即$OP=\frac{3}{2}$，
M′为直线CP与抛物线的另一交点，
设直线CM′的解析式为y=kx-2，把$P（\frac{3}{2}，0）$的坐标代入，得$\frac{3}{2}k-2=0$，
解得$k=\frac{4}{3}$，
∴$y=\frac{4}{3}x-2$，由$\frac{4}{3}x-2={x^2}-x-2$，
解得x=0（舍去）或$x=\frac{7}{3}$
此时$y=\frac{10}{9}$，
∴$M'（\frac{7}{3}，\frac{10}{9}）$，
∴点M的坐标为（1，-2）或$（\frac{7}{3}，\frac{10}{9}）$．

点评 考查了二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质，两函数图象交点的求解方法，综合性较强，难度较大，要注意分情况讨论求解．