Question

如图，在△AOB中，∠OAB=90°，OA=AB，点B的坐标为（-4，0），过点C（4，0）作直线l交AB于P，交AO于Q，以P为顶点的抛物线经过点A，当△APQ和△COQ的面积相等时，则抛物线解析式为

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：过P点作PE⊥BC于点E，过A点作AF⊥BO于点F，根据等腰直角三角形的性质可得A（-2，2），再根据△APQ和△COQ的面积相等可得P点纵坐标为1．根据待定系数法可得直线AB的解析式，从而得到P点坐标，再根据抛物线的顶点式，根据待定系数法可得抛物线解析式．

解答：解：过P点作PE⊥BC于点E，过A点作AF⊥BO于点F．
∵B（-4，0），C（4，0），
∴BC=4-（-4）=8．
∵OA=AB，AF⊥BO于点F，
∴F为OB中点，
∵∠OAB=90°，
∴AF=

1

2

OB=2，
∴A（-2，2），
∴S_△ABO=

1

2

BO•AF=

1

2

×4×2=4．
∵S_△ABO=S_△APQ+S_{四边形PQBO}，S_△APQ=S_△COQ，
∴S_△ABO=S_△COQ+S_{四边形PQBO}=S_△BCP=4．
∵S_△BCP=

1

2

BC•PE=

1

2

×8•PE=4PE=4，
∴PE=1，即P点纵坐标为1．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（-2，2），B（-4，0），
∴

-2k+b=2 -4k+b=0

，
解得

k=1 b=4

，
∴y=x+4，
当y=1时，x+4=1，
解得x=-3，
∴P（-3，1）．
设所求抛物线的解析式为y=a（x+3）²+1，
将A（-2，2）代入，得a（-2+3）²+1=2，
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+3）²+1，即y=x²+6x+10．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的性质，三角形的面积计算，待定系数法求直线的解析式，抛物线的顶点式，以及待定系数法求抛物线解析式，综合性较强，难度中等．