Question

16．如图，已知点M为矩形ABCD中边BC的中点，若要使△AMD为等腰直角三角形，则再须添加一条件；那么在下列给出的条件中，错误的是（　　）

• A． ∠AMD=90°
• B． AM是∠BAD的平分线
• C． AM：AD=1：$\sqrt{2}$
• D． AB：BC=1：$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据已知条件易证△ABM≌△DCM，所以AM=DM，若∠AMD=90°，则可得△AMD为等腰直角三角形，若AM是∠BAD的平分线，所以∠MAD=45°，再由△ABM≌△DCM可得∠MAD=∠ADM=45°，所以可得△AMD为等腰直角三角形，因为AM：DM，AM：AD=1：$\sqrt{2}$，所以利用勾股定理的逆定理即可证明△AMD为等腰直角三角形．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
∵点M为矩形ABCD中边BC的中点，
∴BM=CM，
在△ABM和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠B=∠C}\\{BM=CM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCM，
∴AM=DM，
∵∠AMD=90°，
∴△AMD为等腰直角三角形，股选项A正确；
∵AM是∠BAD的平分线，
∴∠MAD=45°，
∵△ABM≌△DCM，
∴∠MAD=∠ADM=45°，
∴△AMD为等腰直角三角形；故选项B正确；
∵AM：DM，AM：AD=1：$\sqrt{2}$，
∴AM²+DM²=AD²，
∴△AMD为等腰直角三角形；故选项C正确；
而选项D、AB：BC=1：$\sqrt{2}$，得不到△AMD为等腰直角三角形，
故选D．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理运用以及等腰直角三角形的判定，解题的关键是熟记等腰直角三角形的各种判定方法．