Question

设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]，对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y=

2015

x

是闭区间[1，2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数y=kx+b（k＞0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数的性质,一次函数的性质

专题：新定义

分析：（1）根据反比例函数y=

2015

x

的单调区间进行判断；
（2）根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组

km+b=n kn+b=m

，通过解该方程组即可求得系数k、b的值．

解答：解：（1）反比例函数y=

2015

x

是闭区间[1，2015]上的“闭函数”．理由如下：
反比例函数y=

2015

x

在第一象限，y随x的增大而减小，
当x=1时，y=2015；
当x=2015时，y=1，
所以，当1≤x≤2015时，有1≤y≤2015，符合闭函数的定义，故
反比例函数y=

2015

x

是闭区间[1，2015]上的“闭函数”；


（2）∵k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，
∴

km+b=n kn+b=m

，
解得

k=1 b=0

．
∴此函数的解析式是y=x．

点评：本题考查的是反比例函数的性质，解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．