Question

【题目】（操作）BD是矩形ABCD的对角线，AB=4，BC=3．将△BAD绕着点B顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△BEF，点A、D的对应点分别为E、F．若点E落在BD上，如图①，则DE=______．

（探究）当点E落在线段DF上时，CD与BE交于点G．其它条件不变，如图②．

（1）求证：△ADB≌△EDB；

（2）CG的长为______．

（拓展）连结CF，在△BAD的旋转过程中，设△CEF的面积为S，直接写出S的取值范围．

Answer 1

【答案】[操作]1；[探究]（1）见解析；（2）；[拓展] S的取值范围为．

【解析】

[操作】由勾股定理得出BD＝＝5，由旋转的性质得出BE＝BA＝4，即可得出答案；

[探究]（1）由HL证明Rt△ADB≌Rt△EDB即可；

（2）由矩形的性质和折叠的性质得出∠CDB＝∠EBD，证出DG＝BG，设CG＝x，则DG＝BG＝4﹣x，在Rt△BCG中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

[拓展]由题意得出点C到EF的距离最小时，△CEF的面积最小；点C到EF的距离最大时，△CEF的面积最大；当点E在BC的延长线上时，点C到EF的距离最小，此时CE⊥EF，CE＝BE﹣BC＝1，由三角形面积公式得出△CEF的面积S最小＝EF×CE＝；当点E在CB的延长线上时，点C到EF的距离最大，此时CE⊥EF，CE＝BE+BC＝7，由三角形面积公式得出△CEF的面积S最大＝EF×CE＝；即可得出答案．

[操作]

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，AD=BC=3，

∴，

由旋转的性质得：BE=BA=4，

∴DE=BD-BE=5-4=1；

故答案为：1；

[探究]（1）证明：由旋转的性质得：△BEF≌△BAD，

∴∠BEF=∠A=90°，BE=BA，

∴∠BED=180°-∠BEF=90°=∠A，

在Rt△ADB和Rt△EDB中，，

∴Rt△ADB≌Rt△EDB（HL）；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，CD=AB=4，∠BCD=90°，

∴∠ABD=∠CDB，

由折叠的性质得：∠ABD=∠EBD，

∴∠CDB=∠EBD，

∴DG=BG，

设CG=x，则DG=BG=4-x，

在Rt△BCG中，由勾股定理得：x2+32=（4-x）2，

解得：，即；

故答案为：；

[拓展] 解：∵△CEF的边长EF=AD=3，

∴点C到EF的距离最小时，△CEF的面积最小；点C到EF的距离最大时，△CEF的面积最大；

当点E在BC的延长线上时，点C到EF的距离最小，如图③所示：

此时CE⊥EF，CE=BE-BC=4-3=1，

△CEF的面积；

当点E在CB的延长线上时，点C到EF的距离最大，如图④所示：

此时CE⊥EF，CE=BE+BC=4+3=7，

△CEF的面积；

∴S的取值范围为．