Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（-8，0），B点坐标为（2，0），以AB为直径作⊙P与y轴交于点C．
（1）求C点坐标；
（2）求经过A、B、C三点的抛物线的函数关系式；
（3）判断（2）中的抛物线顶点D与⊙P的位置关系．

Answer 1

解：（1）连接AC、BC；
∵AB是⊙P的直径，
∴∠ACB=90°；
在Rt△ABC中，OA=8，OB=2，且OC⊥AB；
则OC²=OA•OB=16，得OC=4；
故C点坐标为：（0，-4），

（2）设抛物线的解析式为：y=a（x+8）（x-2），
代入C点坐标得：
a（0+8）（0-2）=-4，a=，
∴抛物线的解析式为：y=（x+8）（x-2）
=x²+x-4；

（3）由（1）知：y=x²+x-4=（x+3）²-；
则顶点M的坐标为：（-3，-），又C（0，-4），P（-3，0），
∴MP=，PC=5，MC=，
∴MP²=MC²+PC²，即△MPC是直角三角形，且∠PCM=90°，
故直线MC与⊙P相切．
分析：（1）连接AC、BC，由于AB是⊙P的直径，则∠ACB=90°，在Rt△ABC中，OC⊥AB，易知OA、OB的长，利用射影定理即可求得OC的长，从而求得点C的坐标，
（2）利用A，B，C三点的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（3）用配方法将（2）题所得抛物线化为顶点坐标式，即可得到点M的坐标，也就能求出PM、MC的长，然后再判断△PMC的形状即可．
点评：此题主要考查了圆周角定理、二次函数解析式的确定、直角三角形的判定、直线与圆的位置关系等知识，正确利用切线的判定定理是解题关键．