Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，CE是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，BC=2，AC=4，sin∠BAC=．
（1）求证：△ACD∽△ECB；
（2）求⊙O的面积．

Answer 1

（1）证明：∵∠CAB和∠CEB都为弧BC所对的圆周角，
∴∠CAB=∠CEB，
又∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∵CE为⊙O的直径，
∴∠CBE=90°，
∴∠CDA=∠CBE，
∴△ACD∽△ECB．

（2）解：sin∠BAC==
∵AC=4，
∴CD=，AC=．
∵△ACD∽△ECB，
∴
∴，
∴CE=6，且EC为直径，
∴S=πr²=9π．
分析：（1）由圆周角定理得到∠CAB=∠CEB，再据CD⊥AB得到∠CDA=90°，利用CE为⊙O的直径，得到∠CBE=90°，从而得到∠CDA=∠CBE，证得△ACD∽△ECB．
（2）利用∠BAC的正弦值求得CD=，AC=．再根据△ACD∽△ECB列出比例式求得CE的长，最后利用S=πr²求面积即可．
点评：本题考查了圆周角定理及相似三角形的判定及性质，解题的关键是利用相似的判定证得相似，上一题的结论可以作为下一题的条件．