Question

3． 如图，正三角形ABC的边长为2$\sqrt{3}$．
（1）正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长．

Answer 1

分析 （1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示；
（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长．

解答 解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．

（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，
∵△ABC为正三角形，
∴AE′=BF′=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∵E′F′+AE′+BF′=AB，
∴x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=2$\sqrt{3}$，
解得：x=12-6$\sqrt{3}$．
故正方形E′F′P′N′的边长为12-6$\sqrt{3}$．．

点评 本题考查了位似变换、正三角形、正方形、直角三角形边角性质等知识，利用等边三角形的性质表示出AE′，BF′的长是解题关键．